【正文】 WN=exp(i*2*pi/3)。 離散 Fourier變換 1 離散 Fourier變換及其性質(zhì) 2 快速 Fourier變換 離散 Fourier變換及其性質(zhì) 定義 設(shè) 是長度為 N ( ) ( 0 , 1 , 2 , , 1 )f n n N??的序列，稱序列 ? )210( ) ( ) 0 , 1 , 2 , , 1N i nkNnF k f n e k N?? ??? ? ??為 f (n)的 離散 Fourier變換 , 記做 即 ? ?D F T ( ) ,fn? ?( ) D F T ( )F k f n?? )210( ) 0 , 1 , 2 , , 1 .N i nkNnf n e k N?? ??? ? ??稱序列 ? )2101 ( ) 0 , 1 , 2 , , 1N i nkNkF k e n NN??????為 F(k)的 離散 Fourier逆變換 , 記做 ? ?ID F T ( ) .Fk? ? ? )( ) I D F T D F T ( ) 0 , 1 , 2 , , 1 .f n f n n N??? ? ???離散 Fourier變換的反演公式 (證明 )當(dāng) m=n時(shí) , 當(dāng) m?n時(shí) , 21 ()0 。))ans=1/2/pi[ ( ) ] ( ) d 1 ,itt t e t?dd ?? ??????F1 11[ ( ) ] ( ) d .22ite ?d ? d ? ???????????F通常 , 沒有意義 . 然而由 [1]F 1 1[ ( ) ] ,2d? ?? ?F在廣義函數(shù)意義下 , [ 1 ] 2 ( ) .? d ??F因?yàn)?d (x)是 d 逼近函數(shù) 的弱極限 , 所以由 ()x??例 求矩形脈沖函數(shù) (E0) , 2() 0, t2Etpt???? ??? ?? ???的頻譜 . 2( ) si n .2EF ??? ??1( ) 2 sin .2FE ??? ??解, 也可以理解為 [ ( )]xdF0[ ( ) ] lim [ ( ) ]xx ??d? ???FF(1) d 函數(shù) Fourier變換的時(shí)移和頻移性質(zhì) 00[ ( ) ] [ ( ) ] ,itt t e t?dd ???FF0 0[ 1 ] 2 ( ) .ite ? ? d ? ????F0s inlim 1 .?????????證明 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . syms t w t_0 f=sym(39。fourier(diff(y,t,5))ans =i*w^5*fourier(f(t),t,w)上面是關(guān)于時(shí)域的微分性質(zhì) . 類似地也有關(guān)于 頻域的微分性質(zhì) : 設(shè) ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F并且 在 ()()nF ? ( , )?? ??上存在 (n為正整數(shù) ). 如果當(dāng) 時(shí) , ? ? ??() ( ) 0 ( 0 , 1 , 2 , , 1 ) ,kF k n? ? ? ?則 1 ( ) ( ) ( ) .n n ni F t f t?? ?? ???F從而可知 ()( ) ( ) .n n nt f t i F ??? ???F例 設(shè) 求 , 0( ) ( 0 ) , 0, t 0tte tft???? ?????? [ ( )].ftF令 于是由 可知 , 0( ) , 0, t 0tetgt??? ?? ???解 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . symst w。symstaupositive g=sym(39。symsbeta positive g=sym(39。0, 1.???? ??? ????212 ( )2 p???? o ? 11?? ()F ?. . . 寬度為 2 幅度為 ? 的矩形脈沖函數(shù) (3) 相似性質(zhì) 設(shè) ( ) [ ( ) ] ,F f t? ? F則 1[ ( ) ] f at Faa????????F (其中 為常數(shù) ). 0a?證明 由 Fourier變換的定義 , [ ( ) ] ( ) d .itf at f at e t??? ???? ?F令 則 于是當(dāng) a0時(shí) , ,x at? 1d d .txa?11[ ( ) ] ( ) d 。)。F=fourier(f)F =pi*Dirac(w6)+2*pi*Dirac(w)pi*Dirac(w+6)利用 , 可得 例 和 0[cos ]t?F 0[sin ].t?F解 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . symst w a % 輸入 a代替 w_0,否則發(fā)生混淆 ,出現(xiàn)錯誤 f=cos(a*t)。 % 生成變換矩陣離散 Fourier變換具有如下一些基本性質(zhì) . (1) 線性性質(zhì) 設(shè) 11( ) ( 0 , 1 , 2 , , 1 ) ,f n n N??22( ) ( 0 , 1 , 2 , , 1 )f n n N??分別是長度為 N1和 N2的有限序列 . 記 將 和 補(bǔ)零延拓 12m a x { , } ,N N N? 1()fn 2()fn為長度均為 N, 即當(dāng) 時(shí) , 11iN n N? ? ? ?? )( ) 0 1 , 2 .if n i??12 12( ) D FT [ ( ) ( ) ] ,ffF k f n f na? a?? ??11( ) D F T [ ( ) ] ,F k f n?則 12 12( ) ( ) ( )ffF k F k F ka? a?? ??如果 是常數(shù) , 并且 ,a?22( ) D F T [ ( ) ] ,F k f n?? )0 , 1 , 2 , , 1 .kN??線性性質(zhì)可由離散 Fourier變換的定義直接證明 . (2) 卷積定理 設(shè) 和 1()fn 2 ( ) ( 0 , 1 , 2 , , 1 )f n n N??是長度為 N 的有限序列 , 將序列 和 補(bǔ)零 1()fn 2()fn延拓為 的長度 2N1, 仍記 和 12( ) ( )f f n? 1()fn 2( ).fn如果 ( ) D F T [ ( ) ] ( 1 , 2 ) ,iiF k f n i??12( ) D F T [ ( ) ( ) ]F k f f n??? )0 , 1 , 2 , , 2 2 ,kN??則 ? )12( ) ( ) ( ) 0 , 1 , 2 , , 2 2 .F k F k F k k N? ? ?證明 對 根據(jù)離散 Fourier變換 0 , 1 , 2 , , 2 2 ,kN??和有限序列卷積的定義 , 取 于是 221 ,i NWe ?? ??12( ) D F T [ ( ) ( ) ]F k f f n??2 2 2 21200( ) ( )NNnknmf m f n m W??????????????2 2 2 2()1200 ( ) ( ) .NNm k n m kmnf m W f n m W???????由于 和 的實(shí)際長度為 N, 所以 1()fn 2()fn1 2 2()120 ( ) ( ) ( )NNm k n m km n mF k f m W f n m W?????????1 2 21200( ) ( )N N mm k kmf m W f W ???? ? ???? ??111200( ) ( )NNm k kmf m W f W ???????? ??2 2 2 21200( ) ( )NNm k kmf m W f W ???????? ??12( ) ( ) .F k F k?例 設(shè) ? ?12 1( ) 1 , 0 , ( ) 1 , ( 0 , 1 ) .2f n f n n??? ? ?????求 ? )12( ) D F T [ ( ) ( ) ] 0 , 1 , 2 .F k f f n k? ? ?延拓為 和 容易求出 ? ?1 ( ) 1 , 0 , 0fn ? 21( ) 1 , , 0 .2fn??? ????123 1 1( ) { 1 , 1 , 1 } , ( ) , ( 3 3 ) , ( 3 3 ) .2 4 4F k F k i i??? ? ? ?????于是根據(jù) 可得 (2 ) 卷積定理 設(shè) 和1()fn 2 ( ) ( 0 , 1 , 2 , , 1 )f n n N??是長度為 N 的有限序列 , 將序列 和 補(bǔ)零1()fn 2()fn延拓為 的長度 2 N 1, 仍記 和12( )( )f f n? 1()fn 2( ).fn如果 ( ) D F T [ ( ) ] ( 1 , 2 ) ,iiF k f n i??12( ) D F T [ ( ) ( ) ]F k f f n??? )0 , 1 , 2 , , 2 1 ,kN??則 ? )12( ) ( ) ( ) 0 , 1 , 2 , , 2 1 .F k F k F k k N? ? ?? )3 1 1( ) , ( 3 3 ) , ( 3 3 ) 0 , 1 , 2 .2 4 4F k i i k??? ? ? ?????取 N=2, 將序列 和 按長度為 3補(bǔ)零 1()fn 2 ( )fn解 利用本例驗(yàn)算離散 Fourier變換的卷積公式 .運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . f1=[1,0]。A B U? ? ???當(dāng) ? 0時(shí) , ( ) 0 , ( ) ( , 0 ) .B A U? ? ???于是 ||( , ) ( , 0) .yU y U e ??? ??對邊值條件 兩端取 Fourier變換 , ( , 0 ) ( )u x f x?( , 0 ) ( ) .UF???因此 再求 Fourier逆變 ||( , ) ( ) ( 0 ) .yU y F e y??? ???換得到所求的 Laplace方程 Dirichlet問題的解為 1( , ) ( ) d2y ixu x y e F e? ?????? ???? ?1 ( ) d d2y i t i xe f t e t e? ?? ???? ??? ??? ????? ??????()1 ( ) d d2i x t yf t e t?? ???? ?? ???? ????? ??????22() d ( 0 ) .()y f t tyy x t??????????其中 時(shí) , x ?? 0 , 0 .uu x????例 求解沿?zé)o限長