關(guān)于冪零矩陣的幾個注記(更新版)
【正文】 ? ?， 1,2,i? .分別取 1,2, ,is? ，得方程組 10 1 1 2 22 2 21 1 2 21 1 2 2000sssss s sssk k kk k kk k k? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ? ? ?? 將上述方程組 看 作 是 以 skkk , 21 ? 為未 知量的 齊次線性 方程組 ， 其系數(shù)行列式為 122 2 212112( ) 0ssjii j ss s ss? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ?? ? ?? 故解得 021 ???? skkk ? ， 這與1sjj kn? ??相矛盾 .故假設(shè)不成立 ， 從而 A 的所有特征值均為 0. 下面給出定理 3 的一個應(yīng)用 . 例 1 （ 蘇州大學 2020 考研試題 中第 21 題 ） 設(shè) V 是有理數(shù)域 Q 上的線性空間 ， dimVn? ， A 與 B 是 V 的線性變換 ， 其中 B 可對角化，并且 ??AB BA A .證 明：存在正整數(shù) m ，使得 mA 是零變換 . 本文不擬討論其原證，我們將利用定理 3 的結(jié)論給出它的一個非常簡潔的證明，通過該證明將看到，條件“ B 可對角化 ”的 限制是可以取消的 . 另證 取定 V 的一組基 ， 線性變換 A 與 B 在此 基 下的矩陣分別是 A 與 B ，則 AB BA A??，只需證明矩陣 A 是冪零矩陣即可 . 先用歸納法證明 m m mA B BA mA??. 1m? 時結(jié)論成立，假設(shè)結(jié)論對所有小于或等于 m 成立，則 1 1 1()m m m m mA B B A A B A m A B A? ? ?? ? ? ?11m m mAB A BA m A??? ? 1 1 1( ) ( 1 )m m m mB A A A B A m A m A? ? ?? ? ? ? ? ? 故 m m mA B BA mA??對一切 m 成立 . 由于 m m mA B BA mA??，得 tr ( ) tr ( ) tr ( )m m m mA B B A m A m A? ? ?，由引理 9，得 tr( ) 0mmA? ，所以 tr( ) 0mA ? ， 1,2,m? .根據(jù)定理 3，得 A 是冪零矩陣，故 A 是 11 冪零變換，于是 存在正整數(shù) k ，使得 k?0A . 例 2[7] （文 [7]中問題 53） 設(shè) ,AB為 n 階矩陣，令 C AB BA??，且 C 同 ,AB可交換 .求證： ? 正整數(shù) m 使 0mC ? . 證明 對任何正整數(shù) k ，由于 1 1 1( ) ( ) ( )k k k kC C A B B A A B C B C A? ? ?? ? ? ?， 由引理 9，得 11tr tr[ ( ) ( ) ] 0k k kC A BC BC A??? ? ?， 1,2,? .于是根據(jù)定理 3， ? 正整數(shù) m 使 0mC ? . 注 4 這里的證法比文 [7]的兩種證法都簡單得多 . 致謝： 衷心地感謝胡付高老師精心指導和悉心關(guān)懷，在此研究工作中傾注著胡老師辛勤的汗水和心血 .此我要向我的老師致以最衷心的感謝和崇高的敬意 .時向所有關(guān)心和幫助我的老師、同學和 朋友表示由衷的謝意！ 衷心地感謝在百忙之中評閱論文和參加答辯的各位！ 參考文獻 [1] 2020年考研數(shù)學試題（數(shù) 一） [EB/0L]. [2] 姚慕生 . 高等代數(shù)學 [M]. 上海 : 復(fù)旦大學出版社 , 2020 [3] JIA Lixin. Several Properties of Idempotent and Nilpotent Matrices[J].數(shù)學研究與評論 ,2020,20（ 2） : 194196 [4] 韓道蘭 . 冪零矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用 ].玉林師范學院學報（自然科學版） , 2020, 24（ 4） : 13. [5] 孫勝先 , 錢澤平 . 冪等和冪零陣的伴隨陣的反問題 [J].大學數(shù)學， 2020， 22（ 5） : 114116. [6] 葉留青 , 杜學武 . 伴隨還原陣的一種簡捷求法 [J].大學數(shù)學 ,2020,17（ 1） : 9799. [7] 王品超 . 高等代數(shù)新方法 [M]. 濟南 : 山東教育出版社 , 1989 [8] 張素梅 , 張廣慧 . 線性變換的冪零性 [J]. 邯鄲學院學報 ,2020,17（ 3） : 3033. [9] 王兆飛 . 冪零矩陣的標準形 [J]. 河北北方學院學報 ,2020,24（ 1） : 47. [10] 吳險峰 . n 階冪零矩陣的判別及構(gòu)建 [J]. 齊齊哈爾大學學報 ,2020,23（ 4） : 7275. [11] 李殿龍 . 2冪零矩陣的 Jordan標準型 [J]. 青島建筑工程學院學報 ,2020,22（ 3） : 8386. 12
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