高中數(shù)學(xué)31不等關(guān)系與不等式習(xí)題新人教a版必修5(更新版)
【正文】 ，若 f(0)≤2 ， f(1)≤2 ，求 a＋ b的取值范圍． 解： ∵ f(0)＝ b－ 2a， f(1)＝ b＋ 2a－ 3， 且 f(0)≤2 ， f(1)≤2 ， ∴ a＝ f － f ＋ 34 ， b＝ f ＋ f ＋ 32 ?a＋ b＝ 3f ＋ f ＋ 94 ≤ 174 . ∴ a＋ b的取值范圍是 ??? ???－ ∞ ， 174 . 14． (1)設(shè) x≥1 ， y≥1 ，證明： x＋ y＋ 1xy≤ 1x＋ 1y＋ xy； (2)設(shè) 1a≤ b≤ c，證明： logab＋ logbc＋ logca≤log ba＋ logcb＋ logac. 證明： (1)∵ x≥1 ， y≥1 ， ∴ x＋ y＋ 1xy≤ 1x＋ 1y＋ xy?xy(x＋ y)＋ 1≤ y＋ x＋ (xy)2. 將上式中的右式減左式，得 [y＋ x＋ (xy)2]－ [xy(x＋ y)＋ 1]＝ [(xy)2－ 1]－ [xy(x＋ y)－ (x＋ y)]＝ (xy＋ 1)(xy－ 1)－ (x＋ y)(xy－ 1)＝ (xy－ 1)(xy－ x－ y＋ 1)＝ (xy－ 1)(x－ 1)(y－ 1)． ∵ x≥1 ， y≥1 ， ∴ (xy－ 1)(x－ 1)(y－ 1)≥0 ， 逆推可得所要證明的不等式成立． (2)設(shè) logab＝ x， logbc＝ y，由對(duì)數(shù)的換底公式得 logca＝ 1xy， logba＝ 1x， logcb＝ 1y， logac＝ xy. 于是，所要證明的不等式即為 x＋ y＋ 1xy≤ 1x＋ 1y＋ xy， 其中 x＝ logab≥1 ， y＝ logbc≥1. 故由 (1)可知所要證明的不等式成立．
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