高中數(shù)學(xué)北師大版必修5通項(xiàng)公式an的求法導(dǎo)學(xué)案(更新版)
【正文】 {an}中 ,a1= ,且對(duì)任意的正整數(shù) p、 q都有 ap+q=apaq,則 an= . {an}中 ,a1=2,an+1=2ann+1,n∈N +. (1)求證 :數(shù)列 {ann}是等比數(shù)列 。 = ,即 an= . 問題 3:由 an與 Sn的關(guān)系求 an 由 Sn求 an時(shí) ,要分 n=1和 n≥2 兩種情況討論 ,然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一的解析式表示 ,若不能 ,則用分段函數(shù)的形式表示為 an= . 問題 4:幾種遞推數(shù)列的轉(zhuǎn)化方法 (1)an+1=can+d(c≠0,1), 可以通過待定系數(shù)法設(shè) an+1+λ=c ( ),求出 λ 后 ,化為等比數(shù)列求通項(xiàng) 。 2n1 f(2) an+1=pan+q,① 得 an=pan1+q,② ① ② 得 :an+1an=p(anan1),由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求 anan1=(a2a1)pn1,再用累加法求出 an. 探究二 :【解析】 ∵a nan1=2n1(n≥2), ∴ 上述 n1個(gè)等式相加可得 :ana1=n21, ∴a n=n2. 【小結(jié)】一般情況下 ,累加法里只有 n1個(gè)等式相加 . 探究三 :【解析】 (1)由 b1=a2a1≠0, 可得 :b2=a3a2=f(a2)f(a1)=k(a2a1)≠0 .由題設(shè)條件 ,當(dāng) n≥2 時(shí) , = = = =k,故數(shù)列 {bn}是公比為 k的等比數(shù)列 . (2)由 (1)知 bn=kn1(a2a1)(n∈N +), b1+b2+… +bn1=(a2a1) (n≥2), 而 b1+b2+… +bn1=a2a1+a3a2+… +anan1=ana1(n≥2), ∴a na1=(a2a1) (n≥2), 故 an=a+[f(a)a] (n∈N +). [問題 ]上述解法正 確嗎 ? [結(jié)論 ]不正確 .(2)中要分 k≠1 和 k=1進(jìn)行討論 ,以及對(duì) n要分 n=1和 n≥2 進(jìn)行討論 . 于是 ,正確的解答為 : (1)同錯(cuò)解部分 . (2)由 (1)知 ,bn=kn1b1=kn1(a2a1)(n∈N +), 當(dāng) k≠1 時(shí) ,b1+b2+… +bn1=(a2a1) (n≥2)。 a1 = 3 n1,故選 B. (法一 )取 n=2,則 a2=a1+ln 2=2+ln 2,排除 C、 D
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