20xx新人教a版高中數(shù)學(xué)必修一131第2課時(shí)函數(shù)的最值學(xué)案(更新版)
【正文】 是函數(shù) y＝ f(x)的最小值． (2)幾何意義：函數(shù) y＝ f(x)的最小值是圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)． 要點(diǎn)一 利用圖象求函數(shù)的最值 例 1 已知函數(shù) f(x)＝????? x2，－ 1≤ x≤1 ，1x， x1.求 f(x)的最大值、最小值． 解 作出函數(shù) f(x)的圖象 (如圖 )．由圖象可知，當(dāng) x＝ 177。1) ＝ x＝ 0 時(shí)， f(x)取最小值 f(0)＝ 0， 故 f(x)的最大值為 1，最小值為 0. 規(guī)律方法 ，最小值為各段上最小值的最小者，故求分段函數(shù)的最大值或最小值，應(yīng)先求各段上的最值，再比較即得函數(shù)的最大值、最小值． 2．如果函數(shù)的圖象容易作出，畫(huà)出分段函數(shù)的圖象，觀察圖象的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，并 求其縱坐標(biāo)即得函數(shù)的最大值、最小值． 跟蹤演練 1 已知函數(shù) f(x)＝ 3x2－ 12x＋ 5，當(dāng)自變量 x 在下列范圍內(nèi)取值時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值： (1)x∈ R； (2)[0,3]； (3)[－ 1,1]． 解 f(x)＝ 3x2－ 12x＋ 5＝ 3(x－ 2)2－ 7. (1)當(dāng) x∈ R 時(shí)， f(x)＝ 3(x－ 2)2－ 7≥ － 7， 當(dāng) x＝ 2 時(shí)，等號(hào)成立． 即函數(shù) f(x)的最小值為－ 7，無(wú)最大值． (2)函數(shù) f(x)的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù) f(x)在 [0,2)上遞減，在 [2,3]上遞增，并且 f(0)＝ 5， f(2)＝－ 7， f(3)＝－ 4，所以在 [0,3]上，函數(shù) f(x)在 x＝ 0 時(shí)取得最大值，最大值為 5，在 x＝ 2 時(shí)，取得最小值，最小值為－ 7. (3)由圖象可知， f(x)在 [－ 1,1]上單調(diào)遞減， f(x)max＝ f(－ 1)＝ 20， f(x)min＝ f(1)＝－ 4. 要點(diǎn)二 利用單調(diào)性求函數(shù)的最值 例 2 求函數(shù) f(x)＝ xx－ 1在區(qū)間 [2,5]上的最大值與最小值． 解 任取 2≤ x1x2≤5 ， 則 f(x1)＝ x1x1－ 1， f(x2)＝ x2x2－ 1， f(x2)－ f(x1)＝ x2x2－ 1－ x1x1－ 1＝ x1－ x2x2－ x1－， ∵2≤ x1x2≤5 ， ∴ x1－ x20， x2－ 10， x1－ 10， ∴ f(x2)－ f(x1)0. ∴ f(x2)f(x1)． ∴ f(x)＝ xx－ 1在區(qū)間 [2,5]上是單調(diào)減函數(shù)． ∴ f(x)max＝ f(2)＝ 22－ 1＝ 2， f(x)min＝ f(5)＝ 55－ 1＝ 54. 規(guī)律方法 無(wú)法作出時(shí)，往往運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性求最值． 2．函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系： (1)若函數(shù)在閉區(qū)間 [a， b]上是減函數(shù)，則 f(x)在 [a， b]上的最大值為 f(a)，最小值為 f(b)；(2)若函數(shù)在閉區(qū)間 [a， b]上是增函數(shù)，則 f(x)在 [a， b]上的最大值為 f(b)，最小值為f(a)． (3)求最值時(shí)一定要注意所給區(qū)間的開(kāi)閉，若是開(kāi)區(qū)間，則不一定有最大 (小 )值． 跟蹤演練 2 已知函數(shù) f(x)＝ x＋ 1x. (1)求證 f(x)在 [1，＋ ∞) 上是增函數(shù)； (2)求 f(x)在 [1,4]上的最大值及最小值 ． (1)證明 設(shè) 1≤ x1＜ x2， 則 f(x1)－ f(x2)＝ (x1＋ 1x1)－ (x2＋ 1x2) ＝ (x1－ x2)183
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