【正文】 “通過 ”的概率． （ 2）應(yīng)聘者乙所獲 “通過 ”和 “待定 ”票的票數(shù)之和 X 的所有數(shù)值為 0， 1， 2， 3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 X 的分布列和 EX． 【解答】 解：（ 1）應(yīng)聘者甲的投票結(jié)果獲得 “通過 ”為事件 A， 則事件 A包含甲獲 2 張 “通過 ”票或甲獲 3 張 “通過 ”票， ∵ 張、王、李三位專家必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類票的概率為 ， 且三人投票相互沒有影響， ∴ 應(yīng)聘者甲最終獲 “通過 ”的概率為： P（ A） = = ． （ 2）應(yīng)聘者乙所獲 “通過 ”和 “待定 ”票的票數(shù)之和 X 的所有數(shù)值為 0， 1， 2， 3， 則 P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = ， P（ X=3） = = ， ∴ X 的分布列為： X 0 1 2 3 P ∴ EX= =2． 【點(diǎn)評】 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用． 20．（ 13 分）（ 2021 春高密市期末）某校高二八班選出甲、乙、丙三名同學(xué)參加級部組織的科學(xué)知識(shí)競賽．在該次競賽中只設(shè)成績優(yōu)秀和成績良好兩個(gè)等次，若某 同學(xué)成績優(yōu)秀，則給予班級 10 分的班級積分，若成績良好，則給予班級 5 分的班級積分．假設(shè)甲、乙、丙成績?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為 ， ， ，他們的競賽成績相互獨(dú)立． （ 1）求在該次競賽中甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名成績?yōu)閮?yōu)秀的概率； （ 2）記在該次競賽中甲、乙、丙三名同學(xué)所得的班級積分之和為隨機(jī)變量 ξ，求隨機(jī)變量 ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望 Eξ． 【分析】 （ 1）記 “甲成績?yōu)閮?yōu)秀 ”為事件 A， “乙成績優(yōu)秀 ”為事件 B， “丙成績優(yōu)秀 ”為事件 C，“甲、乙、丙至少有一名成績?yōu)閮?yōu)秀 ”為事件 E，由事件 A、 B、 C是相互獨(dú)立事 件，事件 ABC與事件 E 是對立事件，能求出在該次競賽中甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名成績?yōu)閮?yōu)秀的概率． （ 2） ξ的所有可能取值為 15， 20， 25， 30，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 ξ的分布列和 Eξ． 【解答】 解：（ 1）記 “甲成績?yōu)閮?yōu)秀 ”為事件 A， “乙成績優(yōu)秀 ”為事件 B， “丙成績優(yōu)秀 ”為事件 C， “甲、乙、丙至少有一名成績?yōu)閮?yōu)秀 ”為事件 E， ∵ 事件 A、 B、 C 是相互獨(dú)立事件，事件 ABC 與事件 E 是對立事件， ∴ P（ E） =1﹣ P（ ） =1﹣ = ． （ 2） ξ的所有可能取值為 15， 20， 25， 30， P（ ξ=15） =P（ ） = = ， P（ ξ=20） =P（ A ） +P（ ） +P（ ） = + + = ， P（ ξ=30） =P（ ABC） = = ， ∴ ξ的分布列為： ξ 15 20 25 30 P Eξ= = ． 【點(diǎn)評】 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用． 21．（ 14分）（ 2021 春高密市期末）已知函數(shù) f（ x） =x﹣ lnx﹣ 1， g（ x） =k（ f（ x）﹣ x） + ，（ k∈ R）． （ 1）求曲線 y=f（ x）在（ 2， f（ 2））處的切線方程； （ 2）求函數(shù) g（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 3）當(dāng) 1＜ k＜ 3， x∈ （ 1， e）時(shí)，求證： g（ x） ＞ ﹣ （ 1+ln3）． 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，切點(diǎn)坐標(biāo)，斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程即可求解切線方程； （ 2）求出 g（ x）的解析式，求得導(dǎo)數(shù)，通過 ①當(dāng) k≤ 0時(shí)， ②當(dāng) k＞ 0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于 0，可得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于 0，可得減區(qū)間，注意定義域； （ 3）通過（ 2），當(dāng) 1＜ k＜ 3， x∈ （ 1， e）， g（ x）的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)值變化情況，求出函數(shù)的極值、最值，構(gòu)造函數(shù) h（ k） =﹣ ﹣ lnk，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，證明即可得到． 【解答】 解：（ 1）由 f（ x） =x﹣ lnx﹣ 1，可得 f′（ x） =1﹣ ． 即有 f（ 2） =1﹣ ln2， f′（ 2） = ， 所以切線方程是 y﹣（ 1﹣ ln2） = （ x﹣ 2）， 即為 y= x﹣ ln2； （ 2）由 f（ x） =x﹣ lnx﹣ 1， 可得 g（ x） =k（ f（ x）﹣ x） + = ﹣ klnx﹣ k， g′（ x） =x﹣ = ，（ x＞ 0）， ①當(dāng) k≤ 0 時(shí)， g′（ x） ＞ 0． 可得 g（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（ 0， +∞），無單調(diào)遞減區(qū)間； ②當(dāng) k＞ 0 時(shí)，令 g′（ x） ＞ 0，得 x＞ ；令 g′（ x） ＜ 0，得 0＜ x＜ ． 所以 g（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ， +∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（ 0， ）； （ 3）證明：由（ 2）知，當(dāng) 1＜ k＜ 3， x∈ （ 1， e）， g（ x）的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)值變化情況如下圖 x （ 1， ） （ ， e） g′（ x） ﹣ 0 + g（ x） 遞減 極小值 遞增 所以 g（ x）的最小值是 g（ ） =﹣ ﹣ lnk； 令 h（ k） =﹣ ﹣ lnk，可得 h′（ k） =﹣ 1﹣ lnk， 因?yàn)?1＜ k＜ 3，所以 lnk＞ 0， 所以 h′（ k） ＜ 0， 即有 h（ k）在（ 1， 3）上單調(diào)遞減． 則 h（ k） ＞ h（ 3） =﹣ ﹣ ln3． 當(dāng) 1＜ k＜ 3， x∈ （ 1， e）時(shí)， g（ x） ＞ ﹣ ﹣ ln3=﹣ （ 1+ln3）． 綜上所述，當(dāng) 1＜ k＜ 3， x∈ （ 1， e）時(shí)， g（ x） ＞ ﹣ （ 1+ln3）． 【點(diǎn)評】 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，切線方程的求法，極值以及函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查分類討論的思想方法和構(gòu)造函數(shù)法，考查化簡整理的運(yùn)算能 力，屬于中檔題．