【正文】 驗(yàn)結(jié)果建立 比較 合適的 GARCH 模型； 再 利用非對(duì)稱(chēng)的 GARCH 模型的特征 刻畫(huà)上證綜 合 指 數(shù) 日收益率波動(dòng) 性 的杠桿效應(yīng) . 5. 根據(jù)以上分析得出結(jié)論 EGARCH(1, 1)模型比較適合刻畫(huà)上證綜指日收益率序列的波動(dòng)性 . 3 2. GARCH 模型 相關(guān)理論 ARCH 模型 ARCH 模型提出的背景 傳統(tǒng) 計(jì)量 經(jīng)濟(jì)模型都假定樣本方差 為恒定常數(shù) , 實(shí)際上 , 這一假設(shè) 并 不合理 . 大量研究結(jié)果表明 , 金融時(shí)間序列 的方差是隨時(shí)間變化的 , 如股票 市場(chǎng) 收益率、 利率、 通貨膨脹率、 匯 率 等 , 特別是 股票市場(chǎng)收益率 的 表現(xiàn) , 在某個(gè)時(shí)間段波動(dòng) 較 大 , 而在另一時(shí)間段 波動(dòng) 較小 . 對(duì)于這種具有“尖峰 厚 尾、波動(dòng) 聚集性 ”等現(xiàn)象的 金融 時(shí)間序列 數(shù)據(jù) , 不能用 傳統(tǒng) 計(jì)量 經(jīng)濟(jì) 模型 來(lái)擬合 . 但 我們可以發(fā)現(xiàn) ：殘差序列的方差呈現(xiàn)某種自相關(guān) . Engle 的 ARCH 模型很好地埔捉到了金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)的這個(gè)特點(diǎn) . ARCH 模型的全稱(chēng)是自回歸條件異方差 (auto regressive conditional heteroskedasticity, ARCH)模型 , 該模型是由美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家 [4] Engle(1982) 提出的 , 主 要用于具有“ 波動(dòng) 聚集性 ”及方差隨時(shí)間變化特點(diǎn)的金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)的 建模分析和統(tǒng)計(jì)推斷 . ARCH 模型的定義 設(shè) 1t?? 表示時(shí)刻 1t? 及時(shí)刻 1t? 以前的所有信息的集合 , 對(duì)于序列 {}ta , 如果 1|t t t tah??? ? , () 220 1rt i t iiha??????? , () iiN(0,1)t?～ . () 則稱(chēng)序列 {}ta 是一個(gè) ARCH(r)序列 (過(guò)程 ), 式 ()～ ()稱(chēng)為 ARCH(r)模型 . 其中的iiN(0,1)表示獨(dú)立同標(biāo)準(zhǔn)正 態(tài) 分布 . 顯然 , 在任何時(shí)刻 t , ta 的條件期望 及 條件方差分別為 1( | ) 0ttEa ? ? ? , () 21( | )t t tVar a h? ? ? , () ta 的條件分布 為 4 21| iiN (0, )t t tah? ? ～ . () 一般要求 0 0,?? 0( 0),i i? ?? 以保證條件方差為正 . 容易 看出 , 序列 {}ta 的條件方差是一個(gè)隨時(shí)間變化的量 (即條件異方差 ), 這個(gè)隨時(shí)間變化的條件方差是序列 {}ta 的過(guò)去有限項(xiàng)平方的線性組合 (即自回歸 ), 因此 , 該模型稱(chēng)為自回 歸條件異方差模型 . 為了方便 , 有時(shí)也將 ARCH(r)模型式 ()～ ()寫(xiě)成如下形式： 12 210 1| ( )rt t i t iiaa? ? ?????? ? , () iiN(0,1)t?～ . () 或者 21| iiN (0, )t t tah? ? ～ , () 220 1rt i t iiha??????? . () ARCH 模型的特點(diǎn) 1) ARCH 序列呈現(xiàn)出波動(dòng)的聚集性 (voiatility clustering)效應(yīng) , 即較大幅度的波動(dòng)后面傾向于跟著一個(gè)較大幅度的波動(dòng) , 較小幅度的波動(dòng)后面傾向于跟著一個(gè)較小幅度的波動(dòng) . 2) 用 ARCH 模型 能 夠 比較 精確地估計(jì) 模型 參數(shù) , 提高預(yù)測(cè)精度 以及可靠性 . 當(dāng) ARCH 效 應(yīng)存在時(shí) , 若仍使用傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)及統(tǒng)計(jì)推斷 , 就會(huì)產(chǎn)生較大偏差 。 畢業(yè)論文 題 目 基于 ARCH 族模型的滬市股票波動(dòng)性的實(shí)證分析 學(xué) 院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 專(zhuān) 業(yè) 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 基于 ARCH 族模型的滬市股票波動(dòng)性的實(shí)證分析 摘 要 ： 本文以上證綜指為研究對(duì)象 , 運(yùn)用 統(tǒng)計(jì)軟件對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析 , 主要得出以下結(jié)論： 序列數(shù)據(jù) 具有顯著的“尖峰 厚 尾”特征 , 存在波動(dòng)的聚集 性 效應(yīng) , 上海股市具有 顯著 的 ARCH 效應(yīng) , 并且 股 市“杠桿效應(yīng)”顯著 . 通過(guò) 各個(gè)模型的參數(shù)估計(jì)、適應(yīng)性檢驗(yàn)以及模型的 AIC、 LogL 的比較 分析 , 最終得出結(jié)論 EGARCH(1, 1)模型 比較適合 刻畫(huà) 上證綜指的波動(dòng)特性 . 關(guān)鍵詞 ： ARCH 效應(yīng) 。 如果使用 ARCH 模型 , 則可以克服上述不足，從而提高預(yù)測(cè)值的精度 和預(yù)測(cè)的可靠性 . 3) ARCH 模型的一個(gè)顯著特點(diǎn)是給出了計(jì)算時(shí)間序列的條件方差得方法 , ARCH 模型的 另一重要特征 是發(fā)現(xiàn)了金融時(shí)間序列中比較 顯著 的變化是可預(yù)測(cè)的 . 4) ARCH 模型 把方差與條件方差區(qū)分了開(kāi)來(lái) , 并假定條件方差是滯后殘差的函數(shù) , 這為解決異方差問(wèn)題提供了新的方法 . ARCH 模型的不足 1) 條件方差方程中的參數(shù) 受到過(guò)度約束 , 要求條件方 差方程中的參數(shù) 全 是非負(fù)的 . 5 2) 限制 金融時(shí)間序列的條件分布 為正態(tài)分布 . 實(shí)際上 , 大量研究 表明 , 對(duì) 條件分布為正態(tài)分布所建立的 ARCH 模型進(jìn)行殘差分析、標(biāo)準(zhǔn)化殘差擬合檢驗(yàn)時(shí)卻常拒絕 條件分布 為正態(tài)分布 . 3) 把條件方差 2th 看成 2tia? 的 線性函數(shù) , 而 實(shí)際生活中 線性情況 并不多見(jiàn) 。 從圖 3. 4 還可看出收益率具有異方差效應(yīng) . 這表明波動(dòng) 在 隨時(shí)間變化 , 不能用常數(shù) 來(lái) 擬合 , 因此 , 考慮運(yùn)用 ARCH 類(lèi)模型對(duì)上證綜合指數(shù)的日收益率 波動(dòng)性進(jìn)行建模 , 需要對(duì)序列 tR 進(jìn)行 ARCH效應(yīng)檢驗(yàn) , 來(lái)判斷是否存在條件異方差效應(yīng) . 為了 比 較準(zhǔn)確地度量上證綜指日收益率的異方差性 , 通過(guò)試算 , 依據(jù) (AIC Akaike Information Criterion)準(zhǔn)則確定了模型滯后階數(shù)是 3, 對(duì)上證綜指收益率序列 { tR }用ARMA(3, 0)模型進(jìn)行 擬合 . 對(duì) 擬合 模型的殘差平方序列進(jìn)行滯后 1~30 階的 ARCHLM檢驗(yàn) , 得異方差性檢驗(yàn)結(jié)果 見(jiàn) 表 3. 2. 表 3. 2 ARCHLM 檢驗(yàn)結(jié)果 滯后階數(shù) LM 統(tǒng)計(jì)量 相伴概率 1 10 25 30 由表 3. 2 可知 , LM 檢驗(yàn) 所 對(duì)應(yīng)的相伴概率 (即 P 值 )都 小于 5%的顯著性水平 , 所以在 5%的顯著性水平下拒絕序列不存在異方差性的原假設(shè) , 說(shuō)明上證綜指 日 收益率序列存在 顯著 的 ARCH 效應(yīng) . 由以上分析可知 , 收益率 的 平方序列存在自相關(guān) , 且收益率序列存在異方差性 , 這說(shuō)明上證綜合指數(shù)的日收益率序列存在自回歸條件異方差性 , 即 ARCH 效應(yīng) . 于是考慮用 ARCH 族模型對(duì) 日 收益率序列進(jìn)行建模描述其波動(dòng)性 . 13 4. 基于 ARCH 族模型對(duì)滬市股票波動(dòng)性的實(shí)證分析 4. 1 基于 GARCH(1, 1)模型的實(shí)證分析 由于 GARCH(1, 1)模型能比較好的描述股票市場(chǎng)的“尖峰 厚 尾”現(xiàn)象 , 于是嘗試用這個(gè)模型來(lái) 擬合上證綜合指數(shù)的日收益率 , 采用如下形式的均值方程和條件方差方程 . 均值方程： ttRa??? , () 條件放差方程為： 2 2 20 1 1 1 1t t th a h? ? ???? ? ? . () GARCH(1, 1)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果 見(jiàn) 圖 4. 1. 圖 4. 1 GARCH(1, 1)模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果 由 圖 4. 1 可知 , 利用 GARCH(1, 1)模型擬合后估計(jì)的參數(shù) , 均值方程中常數(shù)項(xiàng)的估計(jì)不顯著 , 條件方差方程中 ARCH 和 GARCH 項(xiàng)都高度顯著 , 表明 日 收益率序列呈現(xiàn)出顯著的波動(dòng)聚集性 (volatility clustering)效應(yīng) . 11??? =, 非常接近 1, 這說(shuō)明在股票市場(chǎng) , 某時(shí)刻 收益沖擊 的 影響 具 有持續(xù)性 , 并且波動(dòng)率呈緩慢衰減 , 也就是說(shuō)過(guò)去的波動(dòng)對(duì)未來(lái)的影響是逐漸衰減的 , 表明隨機(jī)沖擊的影響具有一定程度的持續(xù)性 . GARCH(1, 1)模型適應(yīng)性檢驗(yàn) 下面對(duì) GARCH(1, 1)模型的殘差序列 { t? }進(jìn)行檢驗(yàn) , 其中 ?t t tah?? . 我們用LjungBox Q 統(tǒng)計(jì)量對(duì)殘差平方 { 2t? }序列進(jìn)行自相關(guān)檢驗(yàn) , 檢驗(yàn)結(jié)果如 圖 4. 2. 14 圖 4. 2 殘差平方序列自相關(guān)檢驗(yàn)結(jié)果 由 圖 4. 2 可知 , 殘差平方 { 2t? }序列的 Q 統(tǒng)計(jì)量在 1%和 5%的顯著性水平下均不顯著 , 以較大的概率接受了 序列不存在自相關(guān)的原假設(shè) , 故可認(rèn)為序列不具有自相關(guān)性 . 對(duì)于此模型 , 均值方程為： ?? , () 條件方差方程為： 2 2 2115 . 7 0 0 6 0 . 1 0 6 3 7 9 0 . 8 7 5 9 5 5t t th E a h??? ? ? ? . () 對(duì) 擬合 后的殘差序列進(jìn)行進(jìn)行 120 階的 ARCHLM 檢驗(yàn) (顯著性水平為 1%), 檢驗(yàn)結(jié)果 見(jiàn)表 4. 1. 表 4. 1 ARCHLM 檢驗(yàn)結(jié)果 階 數(shù) LM 統(tǒng)計(jì)量 相伴概率 1 5 10 15 20 由表 4. 1 易知 , 殘差序列的 LM 統(tǒng)計(jì)量的 相伴概率 (即 P 值 )均大于顯著性水平 , 接受了序列沒(méi)有異方差性的原假設(shè) , 從而可判 斷殘差序列已 不具有異方差性 . 15 綜上所述 , 利用 GARCH(1, 1)模型擬合 后的殘差序列的 ARCH 效應(yīng)已經(jīng)被消除 , 表明用 GARCH(1, 1)模型 可用來(lái)刻畫(huà) 上證綜指的日對(duì)數(shù)收益率序列 的波動(dòng)性 . 4. 2 基于 EGARCH(1, 1)模型的實(shí)證分析 由 上一節(jié) 對(duì)上證綜 合指數(shù)日收益率序列的描述性統(tǒng)計(jì)分析可知 , 日收益率序列具有“尖峰 厚 尾”的分布特性 , 并且分布不是對(duì)稱(chēng)分布而是有偏分布 , 偏度為 . 前面考慮的 GARCH(1, 1)模型屬于對(duì)稱(chēng)類(lèi)模型 , 于是考慮利用 EGARCH(1, 1)模型對(duì)收益率序列進(jìn)行擬合 . 該模型的優(yōu)點(diǎn)在于能夠有效地描述金融資產(chǎn)收益率序列的有偏分布 . 下面利用 EGARCH(1, 1)模型對(duì)上證綜合指數(shù)的日收益率序列進(jìn)行實(shí)證分析 . 利用 EGARCH(1, 1)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的結(jié)果 見(jiàn)圖 4. 3. 圖 4. 3 基于 EGARCH(1, 1)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果 由 圖 4. 3 可以看到： (1) 參數(shù) 1? 、 1? 都大于 0, 說(shuō)明收益的前期波動(dòng)對(duì)后期波動(dòng)的影響是同方向的 , 這是合理的 . (2) 條件方差方程的參數(shù)估計(jì)值都高度顯著 , 波動(dòng)杠桿效應(yīng)系數(shù)的估計(jì)值是0 且顯著 , 因而 m大于 1, 說(shuō)明我國(guó)股票市場(chǎng)收益率變化對(duì)波動(dòng)強(qiáng)度的調(diào)整是不對(duì)稱(chēng)的 , 故可認(rèn)為上證綜合指數(shù)的日收益率存在“杠桿效應(yīng)” , 即負(fù)值收益率沖擊所引起的波動(dòng)比同等程度的正值收益率沖擊所引起的波動(dòng)更加劇烈 . 這與現(xiàn)有大部分文獻(xiàn)的結(jié)論一致 . (3) 杠 桿 效 應(yīng) 系 數(shù) ? ?? 0, 當(dāng) 1ta? 0 時(shí) , 有一個(gè) 1??? = +( 0. 018972? )= 倍沖擊 。 GARCH 模型 。 安啟光和 郭喜 [3](20xx) 利用 ARCH族模型分析了 我國(guó)滬市股票的日收益率 , 研究表明在熊市 壞 消息產(chǎn)生的波動(dòng)比同等大小的 好 消息產(chǎn)生的波動(dòng)要