北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)74二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題(更新版)
【正文】 g x ＋ lg y 的最大值是 ________ ． [ 答案 ] 2 [ 解析 ] ∵ x 0 ， y 0 ， ∴ x ＋ 4 y ＝ 40 ≥ 2 4 xy ， ∴ xy ≤ 100. ∴ lg x ＋ lg y ＝ lg ( xy ) ≤ l g 100 ＝ 2. 當(dāng)且僅當(dāng) x ＝ 4 y ＝ 20 ，即 x ＝ 20 ， y ＝ 5 時(shí)，等號(hào)成立． 課堂典例講練 已知 a 0 ， b 0 ， c 0 ，求證：bca＋cab＋abc≥ a ＋b ＋ c . [ 思路分析 ] 先局 部運(yùn)用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)相加得到． 利用基本不等式證明不等式 [ 規(guī)范解答 ] ∵ a 0 ， b 0 ， c 0 ， ∴bca＋cab≥ 2bca xy － 2 ＝ 2( 2 － 1) ， 所以 z 的最小值是 2( 2 － 1) ． [ 錯(cuò)因分析 ] 錯(cuò)解一和錯(cuò)解二的錯(cuò)誤原因是等號(hào)成立的條件不具備，因此使用基本不等式一定要驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，只有等號(hào)成立時(shí)，所求出的最值才是正確的． [ 正確解答 ] z ＝ ( x ＋1x)( y ＋1y) ＝ xy ＋1xy＋yx＋xy＝ xy ＋1xy＋? x ＋ y ?2－ 2 xyxy＝2xy＋ xy － 2 ， 令 t ＝ xy ，則 0 t ＝ xy ≤ (x ＋ y2)2＝14，由 f ( t ) ＝ t ＋2t在 (0 ，14] 上單調(diào)遞減，故當(dāng) t ＝14時(shí)， f ( x ) ＝ t ＋2t有最小值334，所以當(dāng) x ＝ y＝12時(shí) z 有最小值254. [ 誤區(qū)警示 ] ( 1) 在利用基本不等式求最值 ( 值域 ) 時(shí)，過多地關(guān)注形式上的滿足，極容易忽視符號(hào)和等號(hào)成立條件的滿足，這是造成解題失誤的重 要原因．如函數(shù) y ＝ 1 ＋ 2 x ＋3x( x 0) 有最大值 1 － 2 6 而不是有最小值 1 ＋ 2 6 . ( 2) 當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否都能保證等號(hào)成立，并且要注意取等號(hào)條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò) . 名 師 點(diǎn) 睛 一個(gè)技巧 運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a2＋ b2≥ 2 ab 逆用就是 ab ≤a2＋ b22；a ＋ b2≥ ab( a ， b 0) 逆用就是 ab ≤ (a ＋ b2)2( a ， b 0) 等．還要注意 “ 添、拆項(xiàng) ” 技巧和公式等號(hào)成立的條件等． 兩個(gè)變形 ( 1)a2＋ b22≥ (a ＋ b2)2≥ ab ( a ， b ∈ R ，當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b 時(shí)取等號(hào) ) ； ( 2)a2＋ b22≥a ＋ b2≥ ab ≥21a＋1b( a 0 ， b 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b 時(shí)取等號(hào) ) ． 這兩個(gè)不等式鏈用處很大，注意掌握它們． 三個(gè)注意 ( 1) 使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提 “ 一正、二定、三相等 ” 的忽視．要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可 ( 2) 在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“ 拆 ”“ 拼 ”“ 湊 ” 等技巧，使其滿足基本不等式中“ 正 ”“ 定 ”“ 等 ” 的條件． ( 3) 連續(xù)使用公式時(shí)取等號(hào)的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致．
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