北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)98曲線與方程(更新版)
【正文】 點坐標(biāo)為 ( 2,0) . 易 錯 警 示 恒成立意義不明導(dǎo)致定點問題錯誤 已知拋物線 y2＝ 4 x 的焦點為 F ，過 F 作兩條相互垂直的弦 AB ， CD ，設(shè)弦 AB ， CD 的中點分別為 M ， N . 求證直線 MN 恒過定點 ( 3,0) ． [ 錯解 ] 設(shè)直線 AB 的方 程為 y ＝43( x － 1) ，則直線 CD 的方程為 y ＝－34( x － 1) ， 由????? y ＝43? x － 1 ? ，y2＝ 4 x ，得????? x1＝ 4 ，y1＝ 4或????? x2＝14，y2＝－ 1. ∴ AB 中點 M 坐標(biāo)為 (98，32) ． 由????? y ＝－34? x － 1 ? ，y2＝ 4 x ，得????? x1＝ 9 ，y1＝－ 6或????? x2＝19，y2＝23. ∴ CD 中點 N 坐標(biāo)為 (419，－83) ． ∴ 直線 MN 的方程為 12 x ＋ 7 y － 36 ＝ 0. 令 y ＝ 0 ，得 x ＝ 3 ，故直線 MN 恒過定點 ( 3,0) ． [ 錯因分析 ] 直線恒過定點是指無論直線如何變動，必有一個定點的坐標(biāo)適合這條直線的方程，問題就歸結(jié)為用參數(shù)把直線的方程表示出來，無論參數(shù)如何變化這個方程必有一組常數(shù)解．本題出錯的地方是直接通過特殊情況來說明，證明過程不完整． [ 正確解答 ] 由題設(shè)，知 F (1,0) ，直線 AB 的斜率存在且不為 0 ，設(shè) lAB： y ＝ k ( x － 1) ( k ≠ 0) ，代入 y2＝ 4 x ， 得 k2x2－ 2( k2＋ 2) x ＋ k2＝ 0 ， 得 xM＝xA＋ xB2＝k2＋ 2k2 ，又 yM＝ k ( xM－ 1) ＝2k， 故 M (k2＋ 2k2 ，2k) ． 因為 CD ⊥ AB ，所以 kCD＝－1k.以－1k代 k ，同理，可得 N (2 k2＋ 1 ，－ 2 k ) ． 所以直線 MN 的方程為 (2 k2＋ 1 －k2＋ 2k2 )( y ＋ 2 k ) ＝ ( － 2 k －2k)( x － 2 k2－ 1) ， 化簡整理，得 yk2＋ ( x － 3) k － y ＝ 0 ，該方程對任意 k 恒成立，故????? y ＝ 0 ，x － 3 ＝ 0 ，－ y ＝ 0 ，解得????? x ＝ 3 ，y ＝ 0. 故不論 k 為何值，直線 MN 恒過定點 (3,0) ． [ 誤區(qū)警示 ] 解決定點與定值問題，不能僅僅研究特殊情況來說明，要想證明直線恒過定點，我們還需驗證一般情況下兩條弦的中點連線也過該定點，否則證明過程就不完整 . 名 師 點 睛 一條規(guī)律 “ 聯(lián)立方程求交點，根與系數(shù)的關(guān)系求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘 ” ． 四個步驟 對于中點弦問題，常用的解題方法是點差法，其解題步驟為： ① 設(shè)點：即設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)； ② 代入：即代入圓錐曲線方程； ③ 作差：即兩式相減，再用平方差公式把上式展開； ④ 整理：即轉(zhuǎn)化為斜率與中點坐標(biāo)的關(guān)系式，然后求解． 五種方法 求軌跡方程的常用方法 (1) 直接法：直接利用條件建立 x ， y 之間的關(guān)系 F ( x ， y )＝ 0 ； (2) 待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程 ——先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)； (3) 定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程； (4) 代入轉(zhuǎn)移法：動點 P ( x ， y ) 依賴于另一動點 Q ( x0， y0)的變化而變化，并且 Q ( x0， y0) 又在某已知曲線上，則可先用 x ，y 的代數(shù)式表示 x0， y0，再將 x0， y0代入已知曲線得要求的軌跡方程． (5) 參數(shù)法：當(dāng)動點 P ( x ， y ) 坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將 x ， y 均用一中間變量 ( 參數(shù) )表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程．
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