20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)412函數(shù)的極值1(更新版)
【正文】 x ， ∴ f ′ ( x ) ＝－ 2 ax2－ 2 x ＋ 2 a2x ＋ 2 a ＝－ 2( ax2＋ x － a2x － a ) ＝－ 2( x － a )( ax ＋ 1) ． 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，可得 x ＝－1a或 x ＝ a . 若 a 0 ，當(dāng) x 變化時(shí)， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的變化情況如下表： x ( － ∞ ，－1a) －1a ( －1a， a ) a ( a ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) － 0 ＋ 0 － f ( x ) 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 所以 f ( x ) 在區(qū)間 ( － ∞ ，－1a) ， ( a ，＋ ∞ ) 內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間( －1a， a ) 內(nèi)為增函數(shù) ． 函數(shù) f ( x ) 在 x ＝－1a處取得極小值 f ( －1a) ＝－ 1 －13 a2 ，在 x ＝ a 處取得極大值 f ( a ) ＝ a2＋13a4. 若 a 0 ，當(dāng) x 變化時(shí)， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的變化情況如下表： x ( － ∞ ， a ) a ( a ，－1a) －1a ( －1a，＋ ∞ ) f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 所以 f ( x ) 在區(qū)間 ( － ∞ ， a ) ， ( －1a，＋ ∞ ) 內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間( a ，－1a) 內(nèi)為減函數(shù) ． 函數(shù) f ( x ) 在 x ＝ a 處取得極大值 f ( a ) ＝ a2＋a43，在 x ＝－1a處取得極小值 f ( －1a) ＝－ 1 －13 a2 . 注意極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)的區(qū)別 已知 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 3 ax 2 ＋ bx ＋ a 2 在 x ＝－ 1 時(shí)有極值0 ，求常數(shù) a 、 b 的值 ． [ 錯(cuò)解 ] 因?yàn)?f ( x ) 在 x ＝－ 1 時(shí)有極值 0 ，且 f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋6 ax ＋ b . 所以????? f ′ ? － 1 ? ＝ 0f ? － 1 ? ＝ 0，即????? 3 － 6 a ＋ b ＝ 0－ 1 ＋ 3 a － b ＋ a2＝ 0， 解得????? a ＝ 1b ＝ 3，或????? a ＝ 2b ＝ 9 . [辨析 ] 根據(jù)極值定義 ， 函數(shù)先減后增為極小值 ， 函數(shù)先增后減為極大值 ， 上述解法未驗(yàn)證 x＝－ 1時(shí)函數(shù)兩側(cè)的單調(diào)性 ， 導(dǎo)致錯(cuò)誤 ． [正解 ] (在上述解法之后繼續(xù) )當(dāng) a＝ 1， b＝ 3時(shí)， f ′ (x)＝3x2＋ 6x＋ 3＝ 3(x＋ 1)2≥ 0， 所以 f(x)在 R上為增函數(shù)，無極值，故舍去； 當(dāng) a＝ 2， b＝ 9時(shí)， f ′ (x)＝ 3x2＋ 12x＋ 9＝ 3(x＋ 1)(x＋ 3)． 當(dāng) x∈ [－ 3，－ 1]時(shí)， f(x)為減函數(shù)； 當(dāng) x∈ [－ 1，＋ ∞ )時(shí)， f(x)為增函數(shù)， 所以 f(x)在 x＝－ 1時(shí)取得極小值．因此 a＝ 2， b＝ 9
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