【正文】 【解答】 證明：（ 1） ﹣ = = = ， 同理可得， ﹣ = ， 由 ＞ ， ＞ ， 即 + ＞ + ， 即有 ＜ ， 即為 ﹣ ＜ ﹣ ； （ 2）由 a+b=1，（ a， b＞ 0且 a≠b ）， =（ a+b）（ + ） =2+ + ＞ 2+2 =4， 則 ＞ 4． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用不等式的性質(zhì)和基本不等式，考查推理能力，屬于中檔題． 20． 喜歡甜品 不喜歡甜品 總計(jì) 南方學(xué)生 60 20 80 北方學(xué)生 10 10 20 總計(jì) 70 30 100 某大學(xué)餐飲中心為了了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示 （ 1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問(wèn)是否有 95%的把握認(rèn)為 “ 南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異 ” （ 2）已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有 5人是數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中 2人喜歡甜品，現(xiàn)在從這 5名學(xué)生中隨機(jī)抽取 3人，求至多有 1人喜歡甜品的概率？ 參考公式： K2= ， n=a+b+c+d 下面的臨界表供參考： P（ K2≥k 0） k0 【考點(diǎn)】 獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；古典概型及其概率計(jì)算公式． 【專題】 概率與統(tǒng)計(jì)． 【分析】 （ 1）將 n=100， a=60， b=10， c=20， d=10代入公式計(jì)算即可；（ 2）代入條件概率的公式計(jì)算即可． 【解答】 解：（ 1） 所以有 95%的把握認(rèn)為南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異． （ 2） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查概率問(wèn) 題，是一道基礎(chǔ)題． 21．如圖，四邊形 ABCD是 ⊙O 的內(nèi)接四邊形， AB的延長(zhǎng)線與 DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E，且 CB=CE． （ 1）證明： ∠D=∠E ； （ 2）設(shè) AD不是 ⊙O 的直徑， AD的中點(diǎn)為 M，且 MB=MC，證明： △ADE 為等邊三角形； （ 3）若 BC=1，且 △ADE 的外接圓半徑為 2，求四邊形 ABCD的面積． 【考點(diǎn)】 與圓有關(guān)的比例線段． 【專題】 證明題；選作題；數(shù)形結(jié)合；綜合法． 【分析】 （ 1）利用四邊形 ABCD是 ⊙O 的內(nèi)接四邊形，可得 ∠D=∠CBE ， 由 CB=CE，可得 ∠E=∠CBE ，可證明 ∠D=∠E ； （ 2）設(shè) BC的中點(diǎn)為 N，連接 MN，證明 AD∥BC ，可得 ∠A=∠CBE ，進(jìn)而得 ∠A=∠E ，可證明△ADE 為等邊三角形； （ 3）根據(jù) △ADE 外接圓的半徑求出高與邊長(zhǎng)，利用四邊形 ABCD是梯形，求出梯形的高 h，即可計(jì)算梯形的面積． 【解答】 （ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD是 ⊙O 的內(nèi)接四邊形， ∴∠D=∠CBE ， ∵CB=CE ， ∴∠E=∠CBE ， ∴∠D=∠E ； （ 2）證明：設(shè) BC的中點(diǎn)為 N，連接 MN，則由 MB=MC知 MN⊥BC ， ∴O 在直線 MN上， ∵AD 不是 ⊙ O的直徑， AD的中點(diǎn)為 M， ∴OM⊥AD ， ∴AD∥BC ， ∴∠A=∠CBE ， ∵∠CBE=∠E ， ∴∠A=∠E ， 由（ 1）知， ∠D=∠E ， ∴△ADE 為等邊三角形； （ 3） △ADE 是等邊三角形，且外接圓的半徑為 2， ∴△ADE 的高為 3， 且 AD=2， ∴AD=2 ； 又 BC=1， BC∥AD ， ∴ 四邊形 ABCD是梯形，設(shè)梯形的高為 h， 則 = ， 解得 h= ； ∴ 梯形 ABCD的面積為 S= （ 2 +1） = ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，也考查了三角形外接圓以及求面積的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目． 22．觀察下列三角形數(shù)表： 第一行 1 第二行 2 2 第三行 3 4 3 第四行 4 7 7 4 第五行 5 11 14 11 5 ? 假設(shè) n行的第二個(gè)數(shù)為 an（ n≥2 ， n∈ N*）． （ 1）依次 寫出第八行的所有數(shù)字； （ 2）歸納出 an+1與 an之間的關(guān)系式，并求出 an的通項(xiàng)公式． 【考點(diǎn)】 歸納推理． 【專題】 推理和證明． 【分析】 由已知分析可得第 n行的第一個(gè)數(shù)字和最后一個(gè)數(shù)字為 n，其它數(shù)字規(guī)律是上一行的相鄰兩個(gè)數(shù)的和為下一行的數(shù)，進(jìn)而得到答案． 【解答】 解：（ 1）由已知分析可得第 n行的第一個(gè)數(shù)字和最后一個(gè)數(shù)字為 n，其它數(shù)字規(guī)律是上一行的相鄰兩個(gè)數(shù)的和， 用列舉的方法計(jì)算第六行的數(shù)有， 6， 16， 25， 25， 16， 6． 第七行的數(shù)有， 7， 22， 41， 50， 41， 22， 7 第八行的數(shù)有， 8， 29， 63， 91， 91， 63， 29， 8． （ 2）由已知可得： 當(dāng) n=2時(shí)， an+1﹣ an=2； 當(dāng) n=3時(shí)， an+1﹣ an=3； 當(dāng) n=4時(shí)， an+1﹣ an=4； 當(dāng) n=5時(shí)， an+1﹣ an=5； 當(dāng) n=6時(shí)， an+1﹣ an=6； 當(dāng) n=7時(shí)， an+1﹣ an=7； ? 歸納可得： an+1﹣ an=n， 相加的 an﹣ a2=（ n﹣ 1） +（ n﹣ 2） +（ n﹣ 3） +?+2= ， ∴a n= +2= n2﹣ n+1 【點(diǎn)評(píng)】 歸納推理的一般步驟是：（ 1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（ 2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．