【正文】 ， 的條件 。 ?,E平面問題 167。 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 SaintVenant 原理在實踐中，為工程力學(xué)界所廣泛采用，原理的數(shù)學(xué)證明卻長期未得到徹底解決。sxhhxyxhhxxhhxFyMyyFy????????????d)(,d)(,d)(02/2/02/2/02/2/???0?? ?? lxlx vu小邊界 x =l是位移邊界 . SFM F y x l h/2 h/2 q 2)(lxq1q)1,( ??? ?hl第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 (b) 在主要邊界x= 0, b， 應(yīng)精確滿足下列邊界條件： 。)(),(),(),(yfyxyfyxσylxxyxlxx?????(a) 在邊界 上， lx?第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 在小邊界 x=l上，用下列條件代替式 (a) 的條件： 在同一邊界 x=l 上， 應(yīng)力的主矢量 = 面力的主矢量（給定 )。 在流體力學(xué)方面，圣維南在 1843年發(fā)表的 《 流體動力學(xué)研究 》中列出粘性不可壓縮流體運動基本方程，而 果則是 1845年發(fā)表的。 1813年進(jìn)巴黎綜合工科學(xué)校求學(xué)， 1814年因政治原因被除名。（圖（ d））。 (4)位移 ,應(yīng)力邊界條件均為每個邊界兩 個，分別表示 ， 向的條件； ,0?? yx ffx y說明 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 若 x=a為正 x 面， l = 1, m = 0, 則式 (d)成為 ( ) , ( ) . ( e )xax x a x x y yσ f f? ?? ??當(dāng)邊界面為坐標(biāo)面時 ， 坐標(biāo)面 yxb axfyfxσ xfyfxy?xσxy?第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 若 x=b為負(fù) x 面， l = 1, m = 0 , 則式 (d)成為 ( ) , ( ) . ( f )xbx x b x x y yσ f f? ???? ? ? ? ?yxb axfyfxσxfyfxy?xσxy?第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 應(yīng)力邊界條件的兩種表達(dá)式： 兩種表達(dá)式 ⑵ 在同一邊界面上，應(yīng)力分量應(yīng)等于對 應(yīng)的面力分量（數(shù)值相等，方向一 致）。 （ a） usus定義 )(su )( sv 邊界條件 (Boundary conditions) －－表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系。 體力、面力的作用面平行于 oxy平面，外力沿ｚ軸無變化。 泊松在數(shù)學(xué)方面貢獻(xiàn)很多。這是后來 胡克控告牛頓剽竊他的成果 的來由。 11( ) , ,11( ) , ,11( ) , .x x y z y z y zy y z x z x z xz z x y x y x yσ σ σEGσ σ σEGσ σ σEG? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ????? ? ? ? ???? ? ? ???定義 即為 廣義胡克定律 (Generalized Hooke’s law)： 167。 從數(shù)學(xué)推導(dǎo)看， ， 確定，求位移是積分運算，出現(xiàn)待定函數(shù)。 167。 平衡條件 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 其中一階微量抵消，并除以 得 ： .01dd1d1)dd(1d1)dd(,0??????????????????yxfxxyyyσyxxσσFxyxyxyxxxxx???yx dd0 . (a )yxx xσ fxy ??? ? ? ???? ?0yF0 . ( b)y x y yσ fyx ??? ? ? ???，同理可得： 平衡條件 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 ? ? ,0cM 當(dāng) 時，得切應(yīng)力互等定理 , 得 ,d21d21 yyxx yxyxxyxy ???????????0d,d ?yx. ( c)x y y x?? ?平衡條件 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 ⑵ 適用的條件 連續(xù)性，小變形； 說明 對平衡微分方程的說明： ⑴ 代表 A中所有點的平衡條件， 因位（ x, y） ∈ A； ⑶ 應(yīng)力不能直接求出； ⑷ 對兩類平面問題的方程相同。 .0, ?? zyzx ??第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 167。 故表面上，有： 在近表面很薄一層內(nèi)： 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 （ 2） 體力 作用于體內(nèi)， 平行于橫截面，沿柱體長度方向不變； 平面應(yīng)變 第二種：平面應(yīng)變問題 (Plane strain problem) 條件是： （ 1）很長的 常截面柱體 ； （ 3） 面力 作用于柱面， 平行于橫截面，沿柱體長度方向不變； （ 4） 約束 作用于柱面， 平行于橫截面，沿柱體長度方向不變。 21 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 ? ?zyxf ,? ?yxf ,平面應(yīng)力 任何彈性體都是 三維物體 ，所以任何一個彈性力學(xué)問題都是 空間問題 。 （ 3） 面力 作用于板邊，平行于板的中面， 沿板厚不變； （ 2） 體力 作用于體內(nèi)，平行于板的中面， 沿板厚不變； 條件是： 第一種：平面應(yīng)力問題(Plane stress problem) 平面應(yīng)力 （ 1）等厚度的 薄板 ； 坐標(biāo)系 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 簡化為平面應(yīng)力問題： 故只有平面應(yīng)力 存在。 ,0 u , vw（平面應(yīng)變問題）只有?????????? ., ,0,0,00xyyxzyzxzyzxzττεw????? 平面應(yīng)變 （ 1）截面、外力、約束沿 z 向不變，外力、約束 平行 xy面，柱體非常長； 簡化為平面應(yīng)變問題： 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 （ 2）由于截面形狀、體力、面力及約束沿 向均不變，故應(yīng)力、應(yīng)變和位移均為 。 1dd ?? yxyx ff ,定義 應(yīng)力：作用于各邊上， 并表示出正面上 由坐標(biāo)增量引起 的 應(yīng)力增量 。 彈性力學(xué) 考慮微分體 的平衡（精確）。 當(dāng) 很小時， 假定 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 ().xuu d x uuxd x x?????????.y vy? ?? ?假定 由位移求形變： PA 線應(yīng)變 PA 轉(zhuǎn)角 PB 線應(yīng)變 PB 轉(zhuǎn)角 同理， ta n .v dxvxd x x?????? ? ??yu????第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 ⑴ 適用于區(qū)域內(nèi)任何點，因為（ x,y） A； 對幾何方程的說明： . , , yuxvyvxu xyyx ???????????? ????所以 平面問題的幾何方程 為： 說明 ⑶ 適用條件： ； ?？傻? 形變與位移的關(guān)系 ? 21 , ff , . ( c )oou u y v v x ??? ? ? ?第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 物理意義： 00,vu形變與位移的關(guān)系 ? －－表示物體繞原點的剛體轉(zhuǎn)動。 胡克 建立了彈性體變形與力成正比的定律 。他在1672年發(fā)現(xiàn)光的衍射現(xiàn)象，并采用光波理論解釋這種現(xiàn)象。除泊松分布外，還有許多數(shù)學(xué)名詞是以他名字命名的，如泊松積分、泊松求和公式、 泊松方程 、 泊松定理等。 ：在自重作用下 ， 圓環(huán) （ 平面 應(yīng)力問題 ） 比圓筒 （ 平面應(yīng)變問題 ） 的 變形大 。（ b） ⑶ 它是 在邊界上 物體保持連續(xù)性的條 件，或 位移保持連續(xù)性的條件 。 b( ) 0 , ( ) 0 .y y y x y bybστ? ? ? ?????邊界：ax ?? xσ2( ) ( ) , ( ) 0 .x x a x y x axayσ q τb? ? ? ?????邊界：yxoqqqqbba axy?yσyx?xσ第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 ⑴ 部分邊界上為位移邊界條件，另一部分邊界上為應(yīng)力邊界條件； 混合邊界條件 混合邊界條件 (Mixed boundary conditions)： ⑵ 同一邊界上，一個為位移邊界條件，另一個為應(yīng)力邊界條件。應(yīng)力，形變，位移等未知函數(shù)必須滿足 A內(nèi)的方程和 S上的邊界條件。 1837年起在橋梁公路學(xué)校任教。 ─ 指面力變換范圍的一，二倍 的局部區(qū)域； ─ 指兩者主矢量相同，對 同一點主矩也相同； 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 圣維南原理 圣維南原理表明，在 小邊界 上進(jìn)行面力的靜力等效變換后，只影響 近處（局部區(qū)域） 的應(yīng)力，對絕大部分彈性體區(qū)域的應(yīng)力沒有明顯影響。 式中 應(yīng)力主矢量，主矩的正方向 ,正負(fù)號 的確定： 應(yīng)力的主矢量的正方向 ，即應(yīng)力的正方向， 應(yīng)力的主矩的正方向 ，即（正應(yīng)力） （正的矩臂）的方向。2d)(,43d)(,23d)(000000FxbFxxFxybyxybyyby???????????????小邊界 y =h是位移邊界 . 0?? ?? hyhy vu注意在列力矩的條件時兩邊均是對原點 o的力矩來計算的。 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 Von Mises 根據(jù)他的理解，對 Saint Venant 原理作了他的修改后的陳述。 ─ 消元法 u vu vu v解法 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 按應(yīng)力求解 （應(yīng)力法） －－取 為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移和形變，導(dǎo)出只含應(yīng)力的方程和邊界條件，從而求出應(yīng)力；再求形變和位移。 適用性廣 ─ 可適用于任何邊界條件。 1??。 xoyloyx.2 2 BAyyEgv ???? ?g?第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 在一剛性盒體 B內(nèi)有一彈性體，受到作用于剛性板 A上的力的作用，設(shè) A均勻的下移距離為 c，求彈性體內(nèi)的應(yīng)力分布（不計體力和彈性體與盒壁的摩擦力）。 )0,( ?? uσ sss 位移邊界條件一般無法用應(yīng)力分量表達(dá)出來 ，按應(yīng)力求解的方法，一般適用于求解 只有應(yīng)力邊界 的問題 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 （ 1） A內(nèi)的 平衡微分方程 ； （ 2） A內(nèi)的 相容方程 ； （ 3）邊界 上的 應(yīng)力邊界條件 ； （ 4）對于 多連體 (Multiply connected body)，還須滿足 位移的單值條件 （見第四章）。 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 點共點（連續(xù)），變形后三連桿在 點共點，則三連桿的應(yīng)變必須滿足一定的協(xié)調(diào)條件。 σSS ?第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 （ a） 此組應(yīng)力滿足相容方程。 (d) 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 在⑴ ⑶條件下求解 的全部條件 (a)， (b)， (c)中均不包含