【正文】 上兩式是矛盾的，因此此組應(yīng)力分量 不可能存在。 , , )(2223例 2 試考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否可能存在 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 解： 應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變 相容條件，即 （ a） 相容； （ b） 須滿足 B = 0, 2A=C ； （ c） 不相容。 單連體 多連體 單連體 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 （相容方程）的物理意義 形變協(xié)調(diào) → 對應(yīng)的位移存在 → 位移必然連續(xù)；形變不協(xié)調(diào) → 對應(yīng)的位移不存在 → 不是物體實際存在的形變 → 微分體變形后不保持連續(xù)。 形變用應(yīng)力表示（物理方程）。本 題在 x = l的小邊界上，已考慮利用圣 維南原理，使 3個積分的應(yīng)力邊界條 件已經(jīng)滿足。 gff yx ??? ,0xoyloyxg?解： 為了簡化，設(shè) 位移 按位移求解，位移應(yīng)滿足式 (218),(214),(219)。 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 位移邊界條件 （在 上） (219) （在 上） (214) ???????.)(,)(vvuuss us???????????????????????????????????????????????.)(21)(1,)(21)(122ysxsfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulE??????s?應(yīng)力邊界條件 ─ 將式 (217)代入應(yīng)力邊界條件 ， ⑷ 在 S上的邊界條件 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 按位移求解時， ， 必須滿足 A內(nèi)的方程 (218)和邊界條件 (214)， (219)。以下討論 平面應(yīng)力問題 。 Love (1905)將該原理敘述為 根據(jù)這個原理，由施于彈體表面某一小部份的平衡力系在距離遠(yuǎn)大于該部份的尺度的地方產(chǎn)生的應(yīng)變是可以忽略的。/ 2 , 0 , .y y xy y xxy h qly h q????? ? ? ? ?? ? ? ?2/hy ??SFM F y x l h/2 h/2 q 2)(lxq1q)1,( ??? ?hl第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 在小邊界 x = 0應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分的近似邊界條件，當(dāng)板厚 時， 1??。 。 1885年把這個思想加以推廣，并稱之為 圣維南原理 。 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 圣維南 (1797～ 1886) 法國力學(xué)家。 oxy(c)(a)(d )(b )qxnyABAxyoAg?oxy(c)(a)(d )(b )qxnyABAxyoA， AB邊界上的 之間的關(guān)系。（ c） 應(yīng)力邊界條件 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 將此三角形移到邊界上，并使斜面與邊界面重合，則得 應(yīng)力邊界條件 : ( ) ( ) , . ( d )( ) ( ) ,x y x s xσy x y s yl σ m f ssm σ l f s????? ???? ??（在 上）第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 ⑴ 它是邊界上微分體的靜力平衡條件； 說明 應(yīng)力邊界條件的說明： ⑶ 在 A中每一點均成立 . ⑵ 它是 函數(shù)方程 ，要求在邊界上每一點 s 上均滿足，這是精確的條件； ( ) ( ) , . ( d )( ) ( ) ,x y x s xσy x y s yl σ m f s sm σ l f s????? ??????（在 上）, , xyyyyxxx lm σpml σp ?? ????只能在邊界 s上成立 . 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 (5) 所有邊界均應(yīng)滿足，無面力的邊界 （自由邊） 也必須滿足。 ? ?? ?2212221221 2 21nσ l σ m σl σ l σl σ σ σ??? ? ?? ? ?? ?212221()1142n lm σ σl???????? ? ? ? ?????第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 位移邊界條件 (Displacement boundary conditions) －－設(shè)在 部分邊界上給定位移分量 和 ,則有 ),()( ),()( svvsuu ss ?? （在 上 )。 )(σfε ?)(εfσ ?說明 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 平面應(yīng)力問題的物理方程： 代入 ，得： 在 z方向 0??? zyzxzσ ??11( ) , ( ) ,( a )2 ( 1 ).x x y y y xx y x yσ σ σ σEEE? ? ? ?????? ? ? ????? ????).( ,0 yxzz σσEεσ ???? ?平面應(yīng)力 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 代入 得 ,0??? zyzxz ???221( ) ,11( ) , ( b )12( 1 ).x x yy y xx y x yEEE??? ? ????? ? ????????? ????? ??? ?????? ???平面應(yīng)變問題的物理方程 平面應(yīng)變 在 z方向， ).(,0 yxzz ????? ???第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 平面應(yīng)力物理方程 → 平面應(yīng)變物理方程： .1 ,1 2 ???? ???? EE變換關(guān)系 ： .1 ,)1( )21( 2 ???? ? ????? EE平面應(yīng)變物理方程 → 平面應(yīng)力物理方程： 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 名 稱 基本方程的表達(dá)式 表示物理量的關(guān)系 基本假定 平衡微分方程 應(yīng)力分量 與 體力分量 間的關(guān)系 連續(xù)性 小變形 幾何方程 應(yīng)變分量 與 位移分量 間的關(guān)系 連續(xù)性 小變形 物理方程 應(yīng)力分量 與 應(yīng)變分量 間的關(guān)系 連續(xù)性 完全彈性 均勻性 各向同性 0,0.yxxxy x yyσfxyσfyx??? ??? ? ? ??? ?????? ? ???? ?, , .xyxyuvxyuvyx???????????????1 ( ) ,1( ) ,2 (1 ).x x yy y xx y x yσ σEσ σEE?????????? ????? ??? ?? ??平面應(yīng)力問題 平面問題的基本方程、物理關(guān)系及基本假定 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 名 稱 平面應(yīng)力問題 平面應(yīng)變問題 未知量 已知量 未知量 已知量 位移 應(yīng)變 應(yīng)力 外力 體力、面力的作用面平行于 oxy平面，外力沿板厚均勻分布。 在固體力學(xué)中， 泊松以材料的橫向變形系數(shù) ，即泊松比而知 名。 1686年牛頓將載有萬有引力定律的 《 自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理 》 卷一的稿件送給英國皇家學(xué)會時，胡克希望牛頓在序言中能對他的勞動成果“提一下”，但遭到牛頓的斷然拒絕。 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 物理方程 (Physical equations)－－ 表示（微分體上）應(yīng)力和形變之間的物理關(guān)系。 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 從物理概念看， ， 確定，物體還可作剛體位移。 ,改為對某一角點的 ，將得出什么結(jié)果？ ， 將得出什么結(jié)果？ ? ?0cM? ?0M第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 幾何方程 (Geometrical equations)─ 表示任一點的微分線段上形變與位移之間的關(guān)系。 平面問題中可列出 3個平衡條件。 故為平面應(yīng)變問題。 故接近平面應(yīng)力問題。 167。 ? ? 0,2δz???zyzxz ττσ? ? ( 在V 中) ,0, ?zyzxz ττσ 由于薄板很薄，應(yīng)力是連續(xù)變化的，又無 z向外力，可認(rèn)為： 平面應(yīng)力 （ 1）兩板面上無面力和約束作用，故 xyyx σσ ?, ,第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 所以歸納為平面應(yīng)力問題： 存在； 。 ? ?yxf ,z平面應(yīng)變 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 所以歸納為平面應(yīng)變問題： 存在； 。 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 應(yīng)用的基本假定 ： 連續(xù)性假定 ─ 應(yīng)力用連續(xù)函數(shù)來表示。 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 當(dāng) 均平衡時，保證 ， 平衡； 反之則不然。 ⑵ 應(yīng)用小變形假定，略去了高階小量 線性的幾何方程； 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 ⑷ 幾何方程是變形后物體連續(xù)性條件 的反映和必然結(jié)果。 －－表示 x， y向的剛體平移， 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 結(jié)論 形變確定，則與形變有關(guān)的位移可以確定，而與形變無關(guān)的剛體位移 (Rigidbody displacements)則未定。 胡克 對萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)起了重要作用 。 1666年倫敦大火以后，他在重建城市中設(shè)計了一些重要建筑物。 在數(shù)學(xué)物理方面： 泊松解決了許多熱傳導(dǎo)方面的問題 。 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 已知 坐標(biāo)面上應(yīng)力 ， 求 斜面上的應(yīng)力。 ⑴ 它是 函數(shù)方程 ，要求在 上每一點 ， 位移與對應(yīng)的約束位移相等。 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 例 3 列出 的邊界條件： ax ?.0)(,0)(,?????axxyaxuax?yxo a第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 應(yīng)力邊界條件 位移邊界條件 混合邊界條件 ( ) ,( ) .x y x s xy x y s ylσ m fm σ l f????? ??????( ) , ( ) . ssuuvv??( ) ,( ) .x y x s xy x y s ylσ m fm σ l f????? ??????( ) , ( ) . ssuuvv??平面問題的邊界條件 第二章 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 ，受有常量的法向分布 壓力 作用，試列出應(yīng)力邊界條件， (圖（ a） )。主要的困難在于難以滿足邊界條件。 1