【正文】 1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2. 解 逆序數(shù)為n(n1) : 3 2(1個) 5 2, 5 4 (2個) (2n1)2, (2n1)4, (2n1)6, , (2n1)(2n2) (n1個) 4 2(1個) 6 2, 6 4(2個) (2n)2, (2n)4, (2n)6, , (2n)(2n2) (n1個) 3. 寫出四階行列式中含有因子a11a23的項(xiàng). 解 含因子a11a23的項(xiàng)的一般形式為(1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4構(gòu)成的排列, 這種排列共有兩個, 即24和42. 所以含因子a11a23的項(xiàng)分別是 (1)ta11a23a32a44=(1)1a11a23a32a44=a11a23a32a44, (1)ta11a23a34a42=(1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4. 計算下列各行列式: (1)。(4)180。(1)180。3+0180。81180。 解 逆序數(shù)為3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n)。 證明 =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(a+b+c+d). (5)=xn+a1xn1+ +an1x+an . 證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)n=2時, , 命題成立. 假設(shè)對于(n1)階行列式命題成立, 即 Dn1=xn1+a1 xn2+ +an2x+an1, 則Dn按第一列展開, 有 =xD n1+an=xn+a1xn1+ +an1x+an . 因此, 對于n階行列式命題成立. 6. 設(shè)n階行列式D=det(aij), 把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時針旋轉(zhuǎn)90176。 解 因?yàn)? , , , , ,所以 , , , . (2). 解 因?yàn)? , , , , , , 所以, , , , . 9. 問l, m取何值時, 齊次線性方程組有非零解？ 解 系數(shù)行列式為 . 令D=0, 得 m=0或l=1. 于是, 當(dāng)m=0或l=1時該齊次線性方程組有非零解. 10. 問l取何值時, 齊次線性方程組有非零解？ 解 系數(shù)行列式為 =(1l)3+(l3)4(1l)2(1l)(3l) =(1l)3+2(1l)2+l3. 令D=0, 得 l=0, l=2或l=3. 于是, 當(dāng)l=0, l=2或l=3時, 該齊次線性方程組有非零解. 第二章　矩陣及其運(yùn)算 1. 已知線性變換: , 求從變量x1, x2, x3到變量y1, y2, y3的線性變換. 解 由已知: , 故 , . 2. 已知兩個線性變換 , , 求從z1, z2, z3到x1, x2, x3的線性變換. 解 由已知 , 所以有. 3. 設(shè), , 求3AB2A及ATB. 解 , . 4. 計算下列乘積: (1)。 解 =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3) . 5. 設(shè), , 問: (1)AB=BA嗎? 解 AB185。0. (2)若A2=A, 則A=0或A=E。 解 . |A|=1185。 解 方程組可表示為 , 故 , 從而有 . (2). 解 方程組可表示為 , 故 , 故有 . 14. 設(shè)Ak=O (k為正整數(shù)), 證明(EA)1=E+A+A2+ +Ak1. 證明 因?yàn)锳k=O , 所以EAk=E. 又因?yàn)? EAk=(EA)(E+A+A2+ +Ak1), 所以 (EA)(E+A+A2+ +Ak1)=E, 由定理2推論知(EA)可逆, 且 (EA)1=E+A+A2+ +Ak1. 證明 一方面, 有E=(EA)1(EA). 另一方面, 由Ak=O, 有 E=(EA)+(AA2)+A2 Ak1+(Ak1Ak) =(E+A+A2+ +A k1)(EA), 故 (EA)1(EA)=(E+A+A2+ +Ak1)(EA),兩端同時右乘(EA)1, 就有 (EA)1(EA)=E+A+A2+ +Ak1. 15. 設(shè)方陣A滿足A2A2E=O, 證明A及A+2E都可逆, 并求A1及(A+2E)1. 證明 由A2A2E=O得 A2A=2E, 即A(AE)=2E, 或 , 由定理2推論知A可逆, 且. 由A2A2E=O得 A2A6E=4E, 即(A+2E)(A3E)=4E, 或 由定理2推論知(A+2E)可逆, 且. 證明 由A2A2E=O得A2A=2E, 兩端同時取行列式得 |A2A|=2, 即 |A||AE|=2, 故 |A|185。2=16. 17. 設(shè)矩陣A可逆, 證明其伴隨陣A*也可逆, 且(A*)1=(A1)*. 證明 由, 得A*=|A|A1, 所以當(dāng)A可逆時, 有 |A*|=|A|n|A1|=|A|n1185。, 所以 . (2). 解 設(shè), 則 . 由此得 222。2+(3)r1, r3+(2)r1. ) ~(下一步: r3+r2, r1+3r2. ) ~(下一步: r1184。 解 ~ ~~ ~故逆矩陣為. (2). 解 ~ ~ ~ ~ ~故逆矩陣為. 4. (1)設(shè), , 求X使AX=B。 (2)R(A)=2。 解 對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換, 有 A=~, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數(shù)). (3)。2時方程組有唯一解. (2)要使方程組無解, 必須R(A)R(B), 故 (1l)(2+l)=0, (1l)(l+1)2185。min{R(a), R(bT)}=min{1, 1}=1, 所以R(A)=1. 19. 設(shè)A為m180。0+2180。 (2) (2, 3, 0)T, (1, 4, 0)T, (0, 0, 2)T. 解 (1)以所給向量為列向量的矩陣記為A. 因?yàn)? , 所以R(A)=2小于向量的個數(shù), 從而所給向量組線性相關(guān). (2)以所給向量為列向量的矩陣記為B. 因?yàn)? , 所以R(B)=3等于向量的個數(shù), 從而所給向量組線性相無關(guān). 7. 問a取什么值時下列向量組線性相關(guān)？ a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, 1)T, a3=(1, 1, a)T. 解 以所給向量為列向量的矩陣記為A. 由 知, 當(dāng)a=0、1時, R(A)3, 此時向量組線性相關(guān). 8. 設(shè)a1, a2線性無關(guān), a1+b, a2+b線性相關(guān), 求向量b用a1, a2線性表示的表示式. 解 因?yàn)閍1+b, a2+b線性相關(guān), 故存在不全為零的數(shù)l1, l2使 l1(a1+b)+l2(a2+b)=0, 由此得 , 設(shè), 則 b=ca1(1+c)a2, c206。0, 所以R(A)=n, 從而a1, a2, , an線性無關(guān). 證法二 因?yàn)閑1, e2, , en能由a1, a2, , an線性表示, 所以R(e1, e2, , en)163。0知l1=0, 矛盾. 因此存在k(2163。r.因此R(K)=r. 充分性: 因?yàn)镽(K)=r, 所以存在可逆矩陣C, 使為K的標(biāo)準(zhǔn)形. 于是 (b1, , br)C=( a1, , as)KC=(a1, , ar). 因?yàn)镃可逆, 所以R(b1, , br)=R(a1, , ar)=r, 從而b1, , br線性無關(guān). 20. 設(shè),證明向量組a1, a2, , an與向量組b1, b2, , bn等價. 證明 將已知關(guān)系寫成,將上式記為B=AK. 因?yàn)?所以K可逆, 故有A=BK 1. 由B=AK和A=BK 1可知向量組a1, a2, , an與向量組b1, b2, , bn可相互線性表示. 因此向量組a1, a2, , an與向量組b1, b2, , bn等價. 21. 已知3階矩陣A與3維列向量x滿足A3x=3AxA2x, 且向量組x, Ax, A2x線性無關(guān). (1)記P=(x, Ax, A2x), 求3階矩陣B, 使AP=PB。 取xn1=1, x1=x2= =xn2=0, 得xn=2. 因此方程組的基礎(chǔ)解系為 x1=(1, 0, 0, , 0, n)T, x2=(0, 1, 0, , 0, n+1)T, , xn1=(0, 0, 0, , 1, 2)T. 23. 設(shè), 求一個4180。n. 又R(AE)=R(EA), 可知R(A)+R(AE)=R(A)+R(EA)179。R). 30. 設(shè)有向量組A: a1=(a, 2, 10)T, a2=(2, 1, 5)T, a3=(1, 1, 4)T, 及b=(1, b, 1)T, 問a, b為何值時 (1)向量b不能由向量組A線性表示。0, i=1, 2, 3) l3: a3x+b3y+c3=0,相交于一點(diǎn)的充分必要條件為: 向量組a, b線性無關(guān), 且向量組a, b, c線性相關(guān). 證明 三直線相交于一點(diǎn)的充分必要條件為方程組, 即有唯一解. 上述方程組可寫為xa+yb=c. 因此三直線相交于一點(diǎn)的充分必要條件為c能由a, b唯一線性表示, 而c能由a, b唯一線性表示的充分必要條件為向量組a, b線性無關(guān), 且向量組a, b, c線性相關(guān). 32. 設(shè)矩陣A=(a1, a2, a3, a4), 其中a2, a3, a4線性無關(guān), a1=2a2 a3. 向量b=a1+a2+a3+a4, 求方程Ax=b的通解. 解 由b=a1+a2+a3+a4知h=(1, 1, 1, 1)T是方程Ax=b的一個解. 由a1=2a2 a3得a12a2+a3=0, 知x=(1, 2, 1, 0)T是Ax=0的一個解. 由a2, a3, a4線性無關(guān)知R(A)=3, 故方程Ax=b所對應(yīng)的齊次方程Ax=0的基礎(chǔ)解系中含一個解向量. 因此x=(1, 2, 1, 0)T是方程Ax=0的基礎(chǔ)解系. 方程Ax=b的通解為x=c(1, 2, 1, 0)T+(1, 1, 1, 1)T, c206。R,有 a1+a2+ +an=0, b1+b2+ +bn=0, 從而 (a1+b1)+(a2+b2)+ +(an+bn) =(a1+a2+ +an)+(b1+b2+ +bn)=0, la1+la2+ +lan=l(a1+a2+ +an)=0,所以 a+b=(a1+b1, a2+b2, , an+bn)T