【正文】 引力的大小為2si n2 j?Rkm, 方向 指為 M 向圓弧 的中心 . 七、42ak ?.練習(xí)題答案 。 問題：水庫(kù)的堤壩為什么上邊窄，下邊寬？ 2022/8/26 67 二、水壓力理論根據(jù)： ??? hph 處的壓強(qiáng)為：，在深度為水的比重為 ?壓力 壓強(qiáng) 面積? 如果有一面積為 A 的平板水平地放置在水深為 h處，那么，平板一側(cè)所受的水壓力為： P ? p 2022/8/26 43 o y R x –R R 方法 2 A B C D ? BC ?t a n?? ??? yRyDC 222 yR ??. . ? ?? R yαyRy0 22 d t a n2?tan???? R?? ?? )d( yySV. 截面積 S(y) (x, y) = 2x = ytan? . S(y) . 半徑為 R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 ?角的 平面所截， 得一圓柱楔。所圍如圖所示圖形的面求例???????2co ss i n262rro xy6???o xy??? 2co ss i n2 2求交點(diǎn)6????? ? ?? ddS 21 s i n221????? d2022/8/26 23 積。2022/8/26 1 第十章 定積分應(yīng)用 0 x y a y=f (x) b x+dx x 2022/8/26 2 定積分概念的出現(xiàn)和發(fā)展都是由實(shí)際問題引起和推動(dòng)的。 微元法 (Element Method) dxx )(??變量！關(guān)鍵 )( x? Cx ?? )(2022/8/26 8 第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用 一、平面圖形的面積 二、體積 三、平面曲線的弧長(zhǎng) 2022/8/26 9 平面圖形的面積 一、直角坐標(biāo)系情形 二、極坐標(biāo)系情形 三、小結(jié) 思考題 2022/8/26 10 xyo)( xfy ?a b xyo)(1 xfy ?)(2 xfy ?a b曲邊梯形的面積 dxxfdA )(?由 y=f1(x)和 y=f2(x)圍成的面積 : dxxfxfdA )]()([ 12 ??一、直角坐標(biāo)系情形 ?? ba dxxfA )(x xxx ?? xx ??? ?? ba dxxfxfA )]()([ 122022/8/26 11 例 1 計(jì)算由兩條拋物線 xy ?2 和 2xy ? 所圍成的圖形的面積 .解 )1,1(),0,0(3) 面積元素 ?dA2) 選 x為積分變量 , ]1,0[?x則dxxxA )( 210 ?? ?10333223?????? ?? xx.31?2xy ?2yx ?解方程組 ???????22xyxy即這兩個(gè)拋物線的交點(diǎn)為： x x+dx dxyy )( 下上 ?1) 求出兩拋物線的交點(diǎn) . 1,0 ??? xx)1,1(dxxx )( 2??12022/8/26 12 討論： 由左右兩條曲線 x?j左 (y)與 x?j右 (y)及上下兩條直線 y?d與 y?c所圍成的平面圖形的面積如何表示為定積分？ 提示： 面積為 面積元素 ? ?? dc dyyyS )]()([ 左右 jj ? dxxfxfS ba? ?? )]()([ 下上 ? ? ?? dc dyyyS )]()([ 左右 jj ? dA=[j右 (y)?j左 (y)]dy, 選積分變量 , 2022/8/26 13 例 2 計(jì)算由曲線 xy 22 ? 和直線 4?? xy 所圍成的圖形的面積 . 2022/8/26 14 例 2 計(jì)算由曲線 xy 22 ? 和直線 4?? xy 所圍成的圖形的面積 . 解 兩曲線的交點(diǎn) ).4,8(),2,2( ????????422xyxy選 為積分變量 y ]4,2[??y?dA .18)24(422???? ??dyyyAxy 22?4??xyxy 22 ?4?? xyy+dy y dyyy ??????????2422022/8/26 15 如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 ?????)()(tytx?j曲邊梯形的面積 （其中 1t 和 2t 對(duì)應(yīng)曲線起點(diǎn)與終點(diǎn)的參數(shù)值） 在 [ 1t , 2t ]（或 [ 2t , 1t ] ）上 )( tx j? 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，)( ty ?? 連續(xù) . ?? ?? baba y d xdxxfA )(.)()(21?j ??? ttdttt?? ba y d xA2022/8/26 16 例 3 求橢圓 12222?? byax 的面積 . 解 橢圓的 參數(shù)方程 ?????tbytaxs i nc o s由對(duì)稱性知總面積等于 4倍第一象限部分面積． ?? a y d xA 04 ??? 02 )c o s(s i n4 tatdbdttab ? ?? 20 2si n4 .ab??2022/8/26 17 ? ? +d? . dA . r =j(? ) o . r ? d? 二、極坐標(biāo)系情形 曲邊扇形是由曲線 r?j(?)及射線???, ???所 圍成的圖形 ? 圖形是曲邊 扇 (梯 )形 如何化不規(guī)則 為規(guī)則 以圓扇形面積近似小曲邊扇形的面積，得到面積元素： ? 2022/8/26 18 ? ? +d? . dA . r =j(? ) o . r ? d? ],[ ????積分變量面積元素 以圓扇形面積近似小 曲邊扇形面積，得到 面積元素： ? ? ??j d)(21d 2 ?A曲邊扇形的面積 ?? ?? ??j d)]([21 2A? 2022/8/26 19 例 4: 計(jì)算阿基米德螺線 r = a? (a 0) 上相應(yīng)于 ? 從 0 到 2? 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積 . o x ? r = a? 2?a 解 : 取極角 ?為積分變量 , 變化區(qū)間為 [0, 2? ], 取小區(qū)間 [?, ? + d? ]， 則 面積元素 ?? dadA 2)(21??????20222daA??203232 ???????a3234 ?a??? ?? ??j d)]([21 2A2022/8/26 20 例 5 求心形線 )co s1( ??? ar 所圍平面圖形的面積 )0( ?a . 2022/8/26 21 例 5 求心形線 )co s1( ??? ar 所圍平面圖形的面積 )0( ?a . 解 ?? dadA 22 )c o s1(21 ??利用對(duì)稱性知 .23 2a???d?? d2)cos1( ? ? ??? 02212 aA??? d)co sco s21( 2????? 02a? ??? ? ???02 )2c o s21c o s223( da心形線也稱圓外旋輪線 2a 2022/8/26 22 積。求其體積。 水壓的強(qiáng)度和水的深度有關(guān)，愈深則水的