向量空間的定義、例子和子空間(更新版)
【正文】 令 ? ?? ?FbabaW ?? ,|,在 V中定義加法如下， ? ? ? ? ? ?21212211 , bbaababa ?????在與中定義數(shù)乘如下： ? ? ? ?0, kabak ?可以驗證如上定義的加法與數(shù)乘運算滿足 的其余 7條但 8）并不滿足，事實上，取 ?30?b? ? ? ? ? ?baaba ,0, ??二．向量空間的性質(zhì) 性質(zhì) 1：零向量是唯一的 證明：設 0和 都是向量空間 V的零向量，那么根據(jù)零向量的定義，對于 中任意向量 都有 39。 顯然與都是的子空間，但 21 WW ?2R21 ,.2 WW是向量空間 V的子空間，則 21 WW ? 是 V的子空間 2121 WWWW ??? 或 [課堂練習 ] P225 習題 4 證明：（分兩種情況討論） （ ⅰ ）若 是 V的真子空間，且 21 ,WW1221 WWWW ?? 或 結論顯然成立 . （ ⅱ ）若 互不包含，用反證法， 21 ,WW21 WWV ?? ??0?V由于 互不包含， 21 ,WW故必有 1221 WWWW ???? ???? 但，但.下考慮 ??? ，顯然有 21 WW ????? ???? 但.若不然，若 21 WW ???? ??? ，則有 21 WW ?? ?? 或不妨假設 11 , WW ???? ???? 則 ，這與 12 WW ?? ?? 但矛盾，所以 ??? 不能屬于 V即證 V 不能表成 21 WW ?P225 習題 5 證明：① 21 WW ?（顯然） ② 122212 WxWxWW ???? ，讓，對12222 WWWWWWWx ?????? ?? 又11 WxWx ???? ， 12. xxxst ??2122121 , WxxxWxWW ????????又112 WxWWWWx ???????12 Wx ??習題 6：（ ⅰ ）用反證法，若 Fk ?? 都有 22 , WWk ??? ??? ?? ? ? ? 222 , WWkkWk ???????? ????? 即2W??與 矛盾 （ ⅱ ）用反證法，若至少有兩個 Fk ?st 1Wk ?? ??1211 , WkWk ???? ????? ? 矛盾與 11121 , WWWkk ??????? ??作業(yè)： P225 1， 2， 3
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