【正文】 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?。?????? ??kiimikiimi h000????浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法》 49 定義 ： ? ?，稱為，取值范圍絕對(duì)穩(wěn)定的則稱線性多步法關(guān)于此，按模小于，若特征方程的根給定???hhh i 1絕對(duì)穩(wěn)定 。39。000,0,???????；定義算符：步法不同時(shí)為步法線性多步法是常數(shù)一般的插值型公式待定系數(shù)法? ?? ??? ?kikiimiimi fhy0 0??1?k?取浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法》 41 ?? ? ??0x?1?mx mx 1?mx?kmx?my?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????nkknkkkffhyyy?????????00010000??????????? ?mmm yxffhkN,1??? 個(gè)方程。時(shí)，線性多步法就是特別，當(dāng)。故?。旱囊淮雾?xiàng)為組合后，可使時(shí)，有而步長(zhǎng)為法的近似解：外推法外推技巧xyxyxyhhhchcxyxyE ul e rR ic har ds onhhh??????2221202.?? ? ? ? ????? 2212 4121 hchcxyxy h? ? ? ? ? ? ? ?222 hOxyxyxy hh ???浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法》 30 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?階精度。證明：記方法是穩(wěn)定的。一般來(lái)說(shuō)，整體比局部說(shuō)明：myO D ExyMMxyiiiiii,.39。 則 整體截?cái)嗾`差定義為 它是局部截?cái)嗾`差的積累。稱為該誤差由當(dāng)前一步所產(chǎn)有是精確的，則對(duì)設(shè)定量分析(,2106,2,!296)039。?????????????????????????????? 浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法》 14 歐拉方法的幾何意義： nxXxxx 2100y? ?Xyny? ?1xy? ?2xy1y2y?h步長(zhǎng) 圖 Euler方法的幾何意義 浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法》 15 ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?余項(xiàng)，得：分，舍去若用梯形公式來(lái)計(jì)算積。則稱上述劃分是任意的：稱為定步長(zhǎng)。從而得到原 ODE的數(shù)值 近似解。, yxycdxxgyyxyxgy????????? 浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法》 8 數(shù)值解及其重要性 ? ?難以求積。1139。 ?? ?nn yyyxfy ? 則稱該方程為 顯式 的。 ? (62),(63)是 (61)的 初始條件 。唯一確定了那么時(shí)時(shí)或設(shè)：時(shí)若設(shè)：tssO D Eststsstmgdtsd?????????????????16360100261,00161039。 浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法》 5 （ 61），（ 63）叫做 邊值問(wèn)題 。 ? ? ? ? xyyy ??? 39。001??????????????????????????nnnniiyyyxfyyyyyyyxyxynidxxdyxy??? 浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法》 7 ? ?yxfy ,39。不能表示為初等函數(shù)，例如方程不定積分的組合表示。然而對(duì)理論分 析很有用。作為于是，我們?nèi)」?。稱為改進(jìn)的這個(gè)公式106)106)96)))96(1?????eE ul e rdE ul e rcyyyaE ul e riii? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ???????????????????????????1161,1,0,2,00011101niyxyyxfyxfhyyyxhfyyiiiiiiiiii?校正予估 浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法》 17 ?????0x 2?ix 1?ix ?2?ixix1?ix nx?????? ? ? ?? ? ? ?多 步 法 單步法 自動(dòng)起步 顯式 隱式 半隱式 圖 ODE求解方法的類型 浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法》 18 ? ?? ?? ?? ???????????????????????????????????????????????hvsshvvsvE ul e rgmvsvdtdsmgdtdvtstsmgdtsdmmmmm11100039。3322039。方法，對(duì)改進(jìn)同階。嚴(yán)格定義為：的差分方程解的變化情初值的改變導(dǎo)致公式不能無(wú)限縮小。的存在穩(wěn)定實(shí)際上，對(duì)給定的問(wèn)題為常數(shù)。和誤差估計(jì)的有效方法外推法是提高精度因此故R ic har ds onxyxyhChhpppp1661222??????????浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法》 32 ? ?? ?。時(shí)，即得到改進(jìn)當(dāng)。39。239。方法不絕，因此，對(duì)任何1010lnln39?？蓾M足二，三步校正。后者比前者精度高一階型預(yù)估一校正法：方法：??????????????????????121211111,2121,KyhxhfKyxhfKKKyyE ul e ryxhfKKyyE ul e rmmmmmmmmmm? ??????????1221, mmmmyhxhfkkyyE u le r 法后退浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法》 57 ? ?? ?? ?? ?方法的級(jí)正整數(shù)，稱為 KRNNibaKbhyhaxfKyxfKKChyxhyxhyyililiillilmimimmNiiimmmmmm????????????????????????????????,3,2,1111111???? ?上的線性組合：在某些點(diǎn)是而 1, ?mm xxf?其中：? ?階次項(xiàng)一致），即項(xiàng)完全一致。yyxxyKRXmE u l er 改進(jìn) E u l er R— K ( 4 階 ) 精確解 00 0 000 4201. 73842. 10412. 55693. 1 18 3 13 9 74 7 37 6 47 2 00 0 2 10 9 23 284 4662. 76803. 41744. 22575. 22886. 47048. 0032 00 0 22 1 97 7 43 2 78 3 27 4 20 1 92 7 89 4 64 3 83 4 00 0 22 1 97 7 43 2 78 3 27 4 20 2 92 8 89 5 64 5 83 6表 各種解法在例題中的結(jié)果比較 浙江大學(xué)研究生學(xué)位課程 《實(shí)用數(shù)值計(jì)算方法》 63 （ 2） . 單步法，自動(dòng)起步 （ 3） . 易改為變步長(zhǎng) （ 4） . 絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域較同階線性多步法大 （ 5） . 計(jì)算工作量較大，有時(shí)大于隱式方法 （ 6） . 估計(jì)誤差不易 絕對(duì)穩(wěn)定性討論 mmmmyhhhyfhfhhfyyyyN?????????????????332239?？赡軐?dǎo)致舍入誤差積累的計(jì)算量，步長(zhǎng)太?。涸黾硬槐匾墙^對(duì)穩(wěn)定。239。7639。39。39。539。239。2???????????????????????????????????