【正文】 面面平行化為線面平行并進而化為線線平行，注意作平面時要有確定平面的依據(jù)． ? 2．如圖所示，平面 α∥ 平面 β，點 A∈ α， C∈ α，點B∈ β， D∈ β，點 E， F分別在線段 AB， CD上，且AE∶ EB＝ CF∶ FD. ? (1)求證： EF∥ β； ? (2)若 E， F分別是 AB， CD的中點， AC＝ 4， BD＝ 6，且 AC， BD所成的角為60176。 ? 【 解析 】 ∵ PB在底面射影為 AB，AB與 AD不垂直， ∴ PB與 AD不垂直，排除 BD⊥ AB， BD⊥ PA，∴ BD⊥ 面 BD不在面 PBC內(nèi)，排除 B.∵ BD∥ AE， ∴ BD∥ 面 PAE，∴ BC與面 PAE不平行，排除 ∵ PD與面 ABC所成角為 ∠ PDA，∵ AD＝ 2AB＝ PA， ∴∠ PDA＝ 45176。 或 120176。 ，求 EF的長． 【解析】 (1 ) 證明： ① 當 AB ， CD 在同一平面內(nèi)時，由 α ∥ β ， α ∩ 平面 ABDC ＝ AC ， β ∩平面 AB D C ＝ BD ， ∴ AC ∥ BD ， ∵ AE ∶ EB ＝ CF ∶ FD ， ∴ EF ∥ BD ，又 EF ? β ， ∴ EF ∥ β . ② 當 AB 與 CD 異面時，過 A 作 DC 的平行線交 β 于 H ，連結(jié) HD . ∵ α ∥ β ， ∴ AH ＝ CD ， ∴ 四邊形 ACDH 是平行四邊形， 在 AH 上取一點 G ，使 AG ∶ GH ＝ CF ∶ FD ， 又 ∵ AE ∶ EB ＝ CF ∶ FD ， ∴ GF ∶ HD ＝EG ∶ BH 則 GF ∥ HD ， ∴ GF ∥ β AE ∶ EB ＝ AG ∶ GH ∴ EG ∥ BH ， ∴ GF ∥ β 又 EG ∩ GF ＝ G ， ∴ 平面 EFG ∥ 平面 β . ∵ EF ? 平面 EFG ， ∴ EF ∥ β . 綜上可知， EF ∥ β . (2) 如圖所示，連結(jié) AD ，取 AD 的中點 M ，連結(jié) ME ， MF . ∵ E ， F 分別為 AB ， CD 的中點， ∴ ME ∥ BD ， MF ∥ AC ， 且 ME ＝12BD ＝ 3 ， MF ＝12AC ＝ 2 ， ∴∠ EM F 為 AC 為 BD 所在的角 ( 或其補角 ) ， ∴∠ EMF ＝ 60176。 ，故選 D ? 【 答案 】 D [ 教師選講 ] (2 009 年寧夏、海南高考， 9) 如圖，正方體 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的棱長為 1 ，線段B 1 D 1 上有兩個動點 E ， F ，且 EF ＝22，則下列結(jié)論中錯誤的是 ( ) A ． AC ⊥ BE B ． EF ∥ 平面 ABCD C ．三棱錐 A － BEF 的體積為定值 D ．異面直線 AE 、 BF 所成的角為定值 【解析】 如圖，正方體 A BCD － A 1 B 1 C 1 D 1中， AC ⊥ BD ， AC ⊥ BB 1 ， BD ∩ BB 1 ＝ B ， ∴ AC ⊥ 平面 BB 1 D 1 D ， 又 ∵ BE ? 平面 BB 1 D 1 D ， ∴ AC ⊥ BE ， ∴ A 對． ∵ EF ∥ BD ， BD ? 平面 ABC D ， EF ? 平面ABCD ， ∴ EF ∥ 平面 ABCD ， ∴ B 對． S △BEF＝12 EF BB1＝1222 1 ＝24， AO ⊥ 平面 BB1D1D ， AO ＝22， ∴ VA － BEF＝132422＝112， ∴ 三棱錐的體積為定值， C 對．故選 D. 【 答案 】 D ? 1．直線和平面平行的判定，是將其轉(zhuǎn)化為直線與直線的平行關(guān)系的判定，也就是說，要證明一條直線和一個平面平行，只要在平面內(nèi)找出一條直線與已知直線平行即可． ? 2．平面與平面平行的判定是將其轉(zhuǎn)化為平面的相交直線與平面平行，注意必須是相交直線． 3 ．注意線線平行，線面平行，面面平行間的相互轉(zhuǎn)化 線線平行判定定理性質(zhì)定理線面平行判定定理性質(zhì)定理面面平行． 應(yīng)用判定定理時，注意由 “ 低維 ” 到 “ 高維 ” ； “ 線線平行 ” ? “ 線面平行 ” ? “ 面面平行 ” ； 應(yīng)用性質(zhì)定理時，注意由 “ 高維 ” 到 “ 低維 ” ； “ 面面平行 ” ? “ 線面平行 ” ? “ 線線平行 ” ． 課時提能精練 點擊進入鏈接