ixxaaa113三個正數(shù)的算術(shù)--幾何平均不等式-課件(人教a選修4-5)(更新版)
【正文】 c 時， ① 式和 ② 式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c ， ( ab )2＝ ( bc )2＝ ( ac )2＝ 3 時， ③ 式等號成立． 即當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c ＝ 314 時，原不等式等號成立． 點擊下圖片進入 : 。93a2b2c2＝ 27. 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c 時，等號成立． ( 2) ∵ a ， b ， c ∈ R ＋ ， ∴ ( a ＋ b ) ＋ ( b ＋ c ) ＋ ( c ＋ a ) ≥ 33? a ＋ b ?? b ＋ c ?? c ＋ a ? ＞ 0 ， 1a ＋ b＋1b ＋ c＋1a ＋ c≥ 331a ＋ b[讀教材 ( 2 － 2 x ) 12 ≤12 ????????x ＋ x ＋ 2 － 2 x33＝12827＝427. 當(dāng)且僅當(dāng) x ＝ 2 － 2 x ，即 x ＝23時取等號． 此時， yma x＝427. [研一題 ] [ 例 2] 設(shè) a 、 b 、 c ∈ R ＋ ，求證： ( 1) (1a2 ＋1b2 ＋1c2 )( a ＋ b ＋ c )2≥ 27 ； ( 2) ( a ＋ b ＋ c )(1a ＋ b＋1b ＋ c＋1a ＋ c) ≥92. [精講詳析 ] 本題考查平均不等式的應(yīng)用，解答本題需要先觀察求證式子的結(jié)構(gòu)，然后通過變形轉(zhuǎn)化為用平均不等式證明的問題． ( 1) ∵ a ， b ， c ∈ R ＋ ， ∴ a ＋ b ＋ c ≥ 33abc ＞ 0 ， 從而 ( a ＋ b ＋ c )2≥ 93a2b2c2＞ 0 ， 又1a2 ＋1b2 ＋1c2 ≥ 331a2b2c2 ＞ 0 ， ∴ (1a2 ＋1b2 ＋1c2 )( a ＋ b ＋ c )2 ≥ 331a2b2c2 1
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