一、數(shù)列的概念二、數(shù)列的極限(更新版)
【正文】 . 0)1( s i nlim 2 ???? nnn用定義驗(yàn)證22 )1(s i n0)1(s i n ???? nnnn證 對(duì)于任意給定的正數(shù) (不妨設(shè) 0 1)，由于 ??,0－)1(s i n 2 ???nn欲使.1 1 ?? ?? nn ，即只需例 7 .111 )1( 1 2 nnn ?????,|0)1(s i n| ]1[2成立時(shí)，就有，當(dāng)取正整數(shù)???????nnNnN.0)1( s i nlim 2 ???? nnn從而知定理 (收斂數(shù)列的有界性 ) 收斂數(shù)列必有界 ,即如果 ||1|||||||| aaaxaaxx nnn ????????于是，有 | | 1 nxa??證 設(shè)數(shù)列 收斂，并且以 a為極限 . 根據(jù)數(shù)列極限的定義，對(duì)于 ，存在著正整數(shù) N， }{ nx1??使得當(dāng) nN時(shí)，都有 ,則存在 M0,使得對(duì)于一切 n,都有 ax nn ???limnxM?取 12m a x { , , , 1 } ,M x x a??則對(duì)于一切 n,都有 .nxM?由定理 ，無界數(shù)列一定是發(fā)散的 . 注意 : 數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件 .例如，數(shù)列 是有界的，而 卻是發(fā)散數(shù)列 . }{ nx })1{(}{ 1??? nn
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