高三數(shù)學(xué)基本不等式(更新版)
【正文】 不正確的是 ( ) A． a0時(shí)， a＋ ≥ 2 B. ≥2 C． a2＋ b2≥2ab D ． a2＋ b2≥ 【 解析 】 ∵ ≥ 2，只有當(dāng) a、 b同號(hào)且不為零時(shí)成立，故 ≥ 2不一定成立． 【 答案 】 B . ba ＋ ab ba＋ab ba ＋ab (a＋ b)22 1a 2． x ，則 f(x)＝ 4x＋ 的最小值為 ( ) A．－ 3 B． 2 C． 5 D． 7 54 14x － 5 【 解析 】 ∵ f(x)＝ 4x＋ ＝ 4x－ 5＋ ＋ 5， ∵ x ， ∴ 4x－ 50， ∴ 4x－ 5＋ ≥ 2， 故 f(x)≥2 ＋ 5＝ 7，等號(hào)成立的條件是 x＝ . 【 答案 】 D 14x － 5 14x － 5 14x － 5 54 32 3．若直線 ax＋ by＋ 1＝ 0(a0， b0)平分圓 x2＋ y2＋ 8x＋ 2y＋ 1＝ 0，則 的最小值為 ( ) A． 8 B． 12 C． 20 D． 16 1a ＋4b 【 解析 】 ∵ 直線平分圓， ∴ 直線過圓心，又圓心坐標(biāo)為 (－ 4，－ 1)， ∴ － 4a－ b＋ 1＝ 0， ∴ 4a＋ b＝ 1， ∴1a＋4b＝ ( 4 a ＋ b)??????1a＋4b＝ 4 ＋1 6 ab＋ba＋ 4 ≥ 16 ， 等號(hào)成立的條件是 a ＝18， b ＝12. 【 答案 】 D 4．設(shè) x， y都是正實(shí)數(shù)，且 x＋ 4y＝ 40，則 lgx＋ lgy的最大值是 ________． 【 解析 】 ∵ x， y都是正實(shí)數(shù)， x＋ 4y≥4 ， xy ∴ ≤10 ， xy≤100 ， 而 lgx＋ lgy＝ lg(xy)≤lg100 ＝ 2， 等號(hào)成立的條件是 x＝ 20， y＝ 5. 【 答案 】 2 5．下列函數(shù)中， y的最小值為 4的是 ________(填序號(hào) )． ① y＝ x＋ (x0)。3 x ＝ 12 ， 等號(hào)成立的條件是12x＝ 3x ，即 x ＝ 2 ， ∴f ( x ) 的最小值是 1 2 . ( 3 ) ∵x 3 ， ∴x － 3 0 ， ∴3 － x 0 ， ∴f ( x ) ＝4x － 3＋ x ＝4x － 3＋ (x － 3) ＋ 3 ＝－??????43 － x＋ ( 3 － x ) ＋ 3 ≤ － 243 － x2abcd ＝ 4abcd. 故原不等式得證，等號(hào)成立的條件是 a2＝ b2且 c2＝ d2且 a2b2＝c2d2. 【 方法點(diǎn)評(píng) 】 等式的一種情況，其實(shí)質(zhì)就是從已知的不等式入手，借助不等式性質(zhì)和基本不等式，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推得所證問題，其特征是“由因?qū)Ч保? ∴1a ＋1b ≥ 4( 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝12 時(shí)等號(hào)成立 ) ． 2．證明不等式時(shí)要注意靈活變形，多次利用基本不等式時(shí)，注意每次等號(hào)是否都成立．同時(shí)也要注意應(yīng)用基本不等式的變形形式． 2 ． 已知 x 0 ， y 0 ， z 0 . 求證 ： ??????yx＋zx ??????xy＋zy ??????xz＋yz≥ 8. 【證明】 ∵ x 0 ， y 0 ， z0 ， ∴yx＋zx≥2 yzx0 ， xy＋zy≥2 xzy0 ， xz＋yz≥2 xyz 0 . ∴??????yx＋zx ??????xy＋zy ??????xz＋yz ≥8 yz 183
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