【正文】 第 6章 第三節(jié) 第 三 節(jié) 等 比 數(shù) 列 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 6章 第三節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 6章 第三節(jié) 考綱解讀 1 ．理解等比數(shù)列的概念． 2 ．掌握等比數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式． 3 ．能在具體的問題情境 中識別數(shù)列的等比關(guān)系， 并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題． 4 ．了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系． 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 6章 第三節(jié) 考向預(yù)測 1 ．以定 義及等比中項為背景，考查等比數(shù)列的判定． 2 ．以考查通項公式、前 n 項和公式為主，同時考查等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用． 3 ．以選擇題、填空題的形式考查等比數(shù)列的性質(zhì)． 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 6章 第三節(jié) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 6章 第三節(jié) 知識梳理 1 ． 等比數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從第 __ 項起，每一項與它的前一項的比都等于___________ ，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的 ____ ，通常用字母 ______ 表示． 2 同一個常數(shù) 公比 q ( q ≠ 0 ) 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 6章 第三節(jié) 2 ． 等比數(shù)列的通項公式 設(shè)等比數(shù)列 { an} 的首項為 a1，公比為 q ，則它的通項 an＝ _____ . a1 a2廣東文， 1 1 ) 已知 { an} 是遞增等比數(shù)列， a2＝ 2 ， a4－ a3＝ 4 ，則此數(shù)列的公比 q ＝ ________. [ 答案 ] 2 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 6章 第三節(jié) [ 解析 ] 本題主要考查等比數(shù)列的基本公式，利用等比數(shù)列的通項公式可解得． a4－ a3＝ a2q2－ a2q ＝ 4 ， 因?yàn)?a2＝ 2 ，所以 q2－ q － 2 ＝ 0 ，解得 q ＝－ 1 ，或 q ＝ 2. 因?yàn)?an為遞增數(shù)列，所以 q ＝ 2. 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 6章 第三節(jié) 6 ． ( 2 0 1 2 qn － 3＝ 2 3n － 3. ② 當(dāng) a2＝ 6 時， q ＝13， an＝ 2 33 － n， ∴ an＝ 2 3n － 3或 an＝ 2 33 － n. 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 6章 第三節(jié) 等比數(shù)列的判定與證明 [ 例 2] 設(shè)數(shù)列 { an} 的首項 a1＝ a ≠14，且 an ＋ 1＝ ????? 12an ? n 為偶數(shù) ? ，an＋14 ? n 為奇數(shù) ? . 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 6章 第三節(jié) 記 bn＝ a2 n － 1－14， n ＝ 1 ,2 ,3 ? . ( 1 ) 求 a2， a3； ( 2 ) 判斷數(shù)列 { bn} 是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論． 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 6章 第三節(jié) [ 分析 ] 本題是高考題目中常見的探索性試題，它與直接證明一個數(shù)列是等比數(shù)列比較而言難度更大，這是因?yàn)橐鉀Q 這一問題需要先有一個探索、研究、歸納的過程，本題中的第一問在某種意義上講，就為解答第二問奠定了基礎(chǔ)． 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 6章 第三節(jié) [ 解析 ] ( 1 ) a2＝ a1＋14＝ a ＋14， a3＝12a2＝12a ＋18. ( 2 ) ∵ a4＝ a3＋14＝12a ＋38， ∴ a5＝12a4＝14a ＋316， 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 6章 第三節(jié) ∴ b1＝ a1－14＝ a －14， b2＝ a3－14＝12( a －14) ， b3＝ a5－14＝14( a －14) ， 猜想： { bn} 的公比為12的等比數(shù)列． 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 6章 第三節(jié) 證明如下： ∵ bn ＋ 1＝ a2 n ＋ 1－14＝12a2 n－14 ＝12( a2 n － 1＋14) －14 ＝12( a2 n － 1－14) ＝12bn， ( n ∈ N ＋ ) ∴ { bn} 是首項為 a －14，公比為12的等比數(shù)列． 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 6章 第三節(jié) [ 點(diǎn)評 ] 等比數(shù)列的判定方法有： ( 1 ) 定義法：若an ＋ 1an＝ q ( q 為非零常數(shù) ) 或anan － 1＝ q ( q 為非零常數(shù)且 n ≥ 2) ，則 { an} 是等比數(shù)列． ( 2 ) 中項公式法：若數(shù)列 { an} 中， an≠ 0 且 a2n ＋ 1＝ an 2n － 2. 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 6章 第三節(jié) 等比數(shù)列的性質(zhì) [ 例 3] 已知等比數(shù)列 { an} 中， an0 ， a a99為方程 x2－ 10 x＋ 16 ＝ 0 的兩根，則 a20a6 q0＋ 2qn－qn－ 1q － 1 ＝nqn ＋ 1－ ? n ＋ 1 ? qn＋ 1q － 1 于是， Sn＝nqn ＋ 1－ ? n ＋ 1 ? qn＋ 1? q － 1 ?2. 若 q ＝ 1 ，則 Sn＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ? ＋ n ＝n ? n ＋ 1 ?2. 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 6章 第三節(jié) 所以， Sn＝??????? n ? n ＋ 1 ?2， ? q ＝ 1 ? ，nqn ＋ 1－ ? n ＋ 1 ? qn＋ 1? q － 1 ?2 ， ? q ≠ 1 ? . 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 6章 第三節(jié) ( 文 ) 已知 { an} 為等差數(shù)列，且 a3＝－ 6 ， a6＝ 0. ( 1 ) 求 { an} 的通項公式； ( 2 ) 若等比數(shù)列 { bn} 滿足 b1＝－ 8 ， b2＝ a1＋ a2＋ a3，求 { bn} 的前n 項和公式． 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 北師大版 第 6章 第三節(jié) [ 解析 ] 本題考查了等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列前 n 項和公式． ( 1 ) 設(shè)等差數(shù)列 { an} 的公差為 d . ∵ a3＝－ 6 ， a6＝ 0. ∴????? a1＋ 2 d ＝－ 6a1＋ 5 d ＝ 0，解得 a1＝－ 10 ， d ＝ 2. ∴ an＝－ 10 ＋ ( n － 1 )