高等數(shù)學(xué)中極限問(wèn)題的解法詳析(更新版)
【正文】 以約去。表示成f(x)在定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。即也就是說(shuō)，極限號(hào)可以與符號(hào)f互換順序。 2：兩收斂數(shù)列且作除數(shù)的數(shù)列的極限不為零，則商的極限等于極限的商。 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵先要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)遞推公式求極限。極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本公具。例[1] 求的極限解：因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng) 則 又因?yàn)椋?）：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。 令 則 則. 因?yàn)? 解方程得 所以 2：利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限 極限的四則運(yùn)算性質(zhì)：1：兩收斂數(shù)列的和或積或差也收斂且和或積或差的極限等于極限和的或積或差。如果 u=g(x) 在點(diǎn)連續(xù) g()=,而y=f(u)在點(diǎn)連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))在點(diǎn)連續(xù)。然后把所求極限。 所以 ＝ ＝ ＝12：利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù)收斂，則運(yùn)用這個(gè)方法首先判定級(jí)數(shù)收斂，然后求出它的通項(xiàng)的極限 例： 求 解：設(shè) 則 = =01由比值判別法知收斂 由必要條件知＝013：利用泰勒展開(kāi)式求極限 泰勒展開(kāi)式：若 f(x)在x=0點(diǎn)有直到n+1 階連續(xù)導(dǎo)數(shù),那么 (其中在0與1之間) 例： 解：泰勒展開(kāi)式 于是＝ 所以＝＝14：換元法求極限： 當(dāng)一個(gè)函數(shù)的解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時(shí)，可采用換元的方法加以變形，使之簡(jiǎn)化易求。5．用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限【說(shuō)明】(1)常見(jiàn)等價(jià)無(wú)窮小有：當(dāng) 時(shí),；(2) 等價(jià)無(wú)窮小量代換,只能代換極限式中的因式；(3)此方法在各種求極限的方法中應(yīng)作
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