【正文】 ，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為fY（y）=（1）求X和Y的聯(lián)合概率密度；（2） 設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實根的概率.【解】（1） 因 故 題14圖(2) 方程有實根的條件是故 X2≥Y，從而方程有實根的概率為： （以小時計），并設(shè)X和Y相互獨立，且服從同一分布，其概率密度為f（x）=求Z=X/Y的概率密度.【解】如圖,Z的分布函數(shù)(1) 當(dāng)z≤0時，（2） 當(dāng)0z1時，（這時當(dāng)x=1000時,y=）(如圖a) 題15圖(3) 當(dāng)z≥1時，（這時當(dāng)y=103時，x=103z）（如圖b） 即 故 （以小時計）近似地服從N（160，） 只，求其中沒有一只壽命小于180的概率.【解】設(shè)這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4)，則Xi~N（160，202），從而 ，Y是相互獨立的隨機變量，其分布律分別為P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….證明隨機變量Z=X+Y的分布律為P{Z=i}=，i=0，1，2，….【證明】因X和Y所有可能值都是非負整數(shù)，所以 于是 ，Y是相互獨立的隨機變量，它們都服從參數(shù)為n，=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項分布.【證明】方法一：X+Y可能取值為0，1，2，…，2n. 方法二：設(shè)μ1,μ2,…,μn。E(Y)= =0從而 =0，0P(A)1，0P(B)1,則稱ρ=：（1） 事件A和B獨立的充分必要條件是ρ=0；（2） |ρ|≤1. 【證】（1）由ρ的定義知，ρ=0當(dāng)且僅當(dāng)P(AB) P(A)P(),D(Y)=P(B)（2） E（2X 3Y2）.【解】 從而(1)(2)f（x）=求（1） 系數(shù)c。~N（0，），問：當(dāng)取何值時，X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大？【解】因為 利用微積分中求極值的方法，有 得,則 又 故為極大值點且惟一。選（C）[a,b]上，隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，則區(qū)間 [a,b]等于（ ）(A) [0,π/2]。從而③亦為0。（2） 甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則X~b（3，）,Y~b(3,)(1) + (2) =，(每條跑道只能允許一架飛機降落)？【解】設(shè)X為某一時刻需立即降落的飛機數(shù)，則X~b(200,)，設(shè)機場需配備N條跑道，則有即 利用泊松近似查表得N≥.，每天有大量汽車通過，,在某天的該時段內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，則X~b（1000，） {X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】設(shè)在每次試驗中成功的概率為p，則故 所以 .，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號，（1） 進行了5次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率；（2） 進行了7次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率.【解】（1） 設(shè)X表示5次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則X~6（5，）(2) 令Y表示7次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則Y~b（7，）（1/2）t的泊松分布，而與時間間隔起點無關(guān)（時間以小時計）.（1） 求某一天中午12時至下午3時沒收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12時至下午5時至少收到1次呼救的概率.【解】（1） (2) {X=k}=, k=0,1,2P{Y=m}=, m=0,1,2,3,4分別為隨機變量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=，試求P{Y≥1}.【解】因為，故.而 故得 即 從而 ，試求在這2000冊書中恰有5冊錯誤的概率.【解】令X為2000冊書中錯誤的冊數(shù)，則X~b(2000,).利用泊松近似計算,得 ，成功的概率為，試寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率.【解】，每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費，：（1） 保險公司虧本的概率。（2） 確定c使P{X＞c}=P{X≤c}.【解】（1） (2) c=3（cm）X~N（,）,177。再設(shè)C={每次拋擲出現(xiàn)6點}。 (D) [0,].【解】在上sinx≥0，(x)是密度函數(shù)。(2) 該電子元件損壞時，電源電壓在200~240V的概率β【解】設(shè)A1={電壓不超過200V}，A2={電壓在200~240V}，A3={電壓超過240V}，B={元件損壞}。E(Y),再由相關(guān)系數(shù)性質(zhì)知ρXY=0,即X與Y的相關(guān)系數(shù)為0，從而X和Y是不相關(guān)的.又從而X與Y不是相互獨立的.（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布，求Cov（X，Y），ρXY.【解】如圖，SD=，故（X，Y）的概率密度為題18圖從而同理而 所以.從而 （X，Y）的概率密度為f（x，y）=求協(xié)方差Cov（X，Y）和相關(guān)系數(shù)ρXY.【解】 從而同理 又 故 （X，Y）的協(xié)方差矩陣為，試求Z1=X 2Y和Z2=2X Y的相關(guān)系數(shù).【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.從而 故 ，W，若E（V2），E（W2）存在，證明：［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.這一不等式稱為柯西許瓦茲（Couchy Schwarz）不等式.【證】令顯然 可見此關(guān)于t的二次式非負，故其判別式Δ≤0，即 故=1/，出現(xiàn)故障時自動關(guān)機，（y）. 【解】設(shè)Y表示每次開機后無故障的工作時間，由題設(shè)知設(shè)備首次發(fā)生故障的等待時間X~E(λ),E(X)==5.依題意Y=min(X,2).對于y0,f(y)=P{Y≤y}=0.對于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.對于0≤y2,當(dāng)x≥0時，在(0,x)內(nèi)無故障的概率分布為P{X≤x}=1 e λx,所以F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1 e y/5.、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，求：（1）乙箱中次品件數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望；（2）從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率. 【解】（1） Z的可能取值為0，1，2，3，Z的概率分布為, Z=k0123Pk因此，(2) 設(shè)A表示事件“從乙箱中任取出一件產(chǎn)品是次品”，根據(jù)全概率公式有 （毫米）服從正態(tài)分布N（μ,1），內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤T（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系T=問：平均直徑μ取何值時，銷售一個零件的平均利潤最大？ 【解】 故得 兩邊取對數(shù)有解得 (毫米)由此可得，當(dāng)u=，平均利潤最大.f(x)=對X獨立地重復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于π/3的次數(shù)，求Y2的數(shù)學(xué)期望.（2002研考）【解】令 及,所以,從而，每臺無故障工作的時間Ti(i=1,2)服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，首先開動其中一臺，=T1+T2的概率密度fT(t)，數(shù)學(xué)期望E（T）及方差D（T）. 【解】由題意知：因T1,T2獨立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t).當(dāng)t0時，fT(t)=0。(3). 解： (1) Y的分布函數(shù)為.當(dāng)y≤0時， ，；當(dāng)0＜y＜1時，；當(dāng)1≤y4時， ；當(dāng)y≥4時，.故Y的概率密度為(2) , , ,故 Cov(X,Y) =.(3) .習(xí)題五，{10X18}.【解】設(shè)表每次擲的點數(shù)，則 從而 又X1,X2,X3,X4獨立同分布.從而 所以 2. %與84%之間的概率不小于90%，問這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？【解】令而至少要生產(chǎn)n件，則i=1,2,…,n,且X1，X2，…，Xn獨立同分布，p=P{Xi=1}=.現(xiàn)要求n,使得即由中心極限定理得整理得查表n≥, 故取n=269.3. 某車間有同型號機床200部，假定各機床開動與否互不影響，%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).【解】要確定最低的供應(yīng)的電能量，應(yīng)先確定此車間同時開動的機床數(shù)目最大值m，而m要滿足200部機床中同時開動的機床數(shù)目不超過m的概率為95%,，則X~B（200，）, 查表知 ,m=151.所以供電能15115=2265（單位）.4. 一加法器同時收到20個噪聲電壓Vk（k=1，2，…，20），設(shè)它們是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間（0，10）=，求P{V＞105}的近似值.【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=,k=1,2,…,20由中心極限定理知，隨機變量于是 即有 P{V105}≈5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%，問其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】設(shè)100根中有X根短于3m，則X~B（100，）從而 6. 某藥廠斷言，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言.（1） ，問接受這一斷言的概率是多少？（2） ，問接受這一斷言的概率是多少？【解】令(1) X~B(100,)， (2) X~B(100,)， 7. ，任取1000件，其中有20件廢品的概率.【解】令1000件中廢品數(shù)X，則p=,n=1000,X~B(1000,)，E(X)=50，D(X)=.故 8. ，…，T30服從參數(shù)λ=[單位：（小時）1]的指數(shù)分布，其使用情況是第一個損壞第二個立即使用，求T超過350小時的概率.【解】 故9. 上題中的電子器件若每件為a元，那么在年計劃中一年至少需多少元才能以95%的