概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第18講(更新版)
【正文】 y s h e v 且具有相同的數(shù)學(xué) 期望及方差， 相互獨(dú)立，設(shè)隨機(jī)變量 ?? nXX ,1,2,1, 2 ???? kDXEX kk ??,1}|1{|lim1?????????nkkn XnP.0}|1{|l i m1?????????nkkn XnP或0? ?任意的 有則對(duì)于 由切比雪夫不等式得： }|1{|1?? ????nkkXnP證明： ???nkkEXn1)(1???nkkXnE1)1( ???nkn 1)(1 ? ????nkkDXn12 )(1???nkkXnD1)1( ???nkn 122 )(1 ?n2?22??n?22 /}|{| ???? ???XP.0}|1{|l i m1?????????nkkn XnP或所以 .|)(1|, ,0, , ,}|)(1{|11成立的概率很小等式不充分大時(shí)當(dāng)即對(duì)于任意正數(shù)時(shí)這個(gè)事件的概率趨于當(dāng)明等式表是一個(gè)隨機(jī)事件?????????????niiniiXEnXnnXEnX關(guān)于定理 1的說(shuō)明 : 11lim { | | } 0 .nknkPXn ???? ?? ? ??11{ | | }nkkXn ??????11||nkkXn ??????關(guān)于定理 1的說(shuō)明 : 11lim { | | } 0 .nknkPXn ???? ?? ? ??.)(11, , , 1121ininiinXEnXnXXXn????值的算術(shù)平均接近于它們的數(shù)學(xué)期望均的算術(shù)平隨機(jī)變量很大時(shí)當(dāng) ?（這個(gè)接近是概率意義下的接近） 即在定理?xiàng)l件下 , n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均 , 當(dāng) n無(wú)限增加時(shí) , 幾乎變成一個(gè)常數(shù) . 定理 1的另一種敘述 : 則和方差且具有相同的數(shù)學(xué)期望相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量),2,1()(,)(, ,221?????? kXDXEXXXkkn??. , 1 1??? ??? ??PniiXXnX即依概率收斂于序列.1lim0lim ,0 , , ??????????????????????????pnnPpnnPApAnnAnAnA或有則對(duì)于任意正數(shù)率在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概是事件的次數(shù)發(fā)生次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件是設(shè)證明 引入隨機(jī)變量 ????? .,2,1,1,0?kAkAkXk 發(fā)生次試驗(yàn)中若在第不發(fā)生次試驗(yàn)中若在第定理 2（ 伯努利大數(shù)定律 ） nA XXXn ???? ?21顯然 是相互獨(dú)立的，因?yàn)??? , 21 nXXX , )10( 分布為參數(shù)的服從以且 ?pX k?,)()(,)( 21411 ????? kppXDpXE kk所以根據(jù)定理 1有 ,)(lim 01 21 ??????? ????????pXXXnP nn?.0lim ??????? ?????pnnP An即[證畢 ] 關(guān)于伯努利定理的說(shuō)明 : . , 表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性它以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式率收斂于事件的概率依概生的頻率貝努利定理表明事件發(fā)pnnA 故而當(dāng) n很大時(shí) , 事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小 . 在實(shí)際應(yīng)用中 , 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí) , 便可以用事件發(fā)生的頻率來(lái)代替事件的概率 . ),2,1( )( , , , , 21?????kXEXXXkn?且具有數(shù)學(xué)期望服從同一分布相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量.11lim,1????????????????nkkn XnP有則對(duì)于任意正數(shù)關(guān)于辛欽定理的說(shuō)明 : (1) 與定理 1相比 , 不要求方
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