【正文】 究潛水運(yùn)動的基本微分方程 一、 Dupuit假設(shè) 潛水面是彎曲的，等水頭面也是彎曲的，潛水流的運(yùn)動不是水平的。如圖。 thWxhKhx ?????????????? ?thKKWxhhx ?????????????? ? 對于三維流，這是考慮垂向分速度，其微分方程同承壓水流微分方程。如，補(bǔ)給、徑流、排泄條件，以及邊界性質(zhì)、邊界形狀等。 數(shù)學(xué)模型 ：一個或一組數(shù)學(xué)方程與其定解條件加在一起，構(gòu)成一個描述某實際問題的數(shù)學(xué)模型。 ② 抽水井和注水井： ③ 泉水。用下列式子表示： 三維流： 二維流： ? ? ? ? ? ? DzyxzyxHtzyxH t ??? , 00? ? ? ? ? ? DyxyxHtyxH t ??? , 39。 3. 數(shù)學(xué)模型必須滿足的三個條件： ① 解的存在性； ② 解的唯一性； ③ 解的穩(wěn)定性，指當(dāng)參數(shù)和定解條件發(fā)生微小變化時，所引起的解的變化也是微小的。 二、地下水流問題的解法 三種解法：解析法、數(shù)值法、模擬法。 8 地下水流態(tài)的判斷 層流和紊流。（ 1）井的抽水量保持不變；（ 2）井中水位 Hw保持不變。開采后，采區(qū)仍屬承壓含水層，且未影響到兩側(cè)的流線邊界。 2 滲透系數(shù)、滲透率、導(dǎo)水系數(shù)、滲透系數(shù)與導(dǎo)水系數(shù)的關(guān)系、滲透系數(shù)和滲透率說明（ 3點(diǎn)）、滲透系數(shù)與導(dǎo)水系數(shù)說明（ 2點(diǎn)）。 地下水的流動類型可歸納為兩類：滲流和流動。 ① 查明地質(zhì)、水文地質(zhì)條件； ② 確定研究區(qū)的范圍和形狀； ③ 對研究區(qū)的水文地質(zhì)條件進(jìn)行概化； ④ 給出微分方程和定解條件； 數(shù)學(xué)模型為： ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?上和、在上在CDBCABnHADtyxftyxHDyxyxHyxHtDyxtHPWyHzHKyxHzHKx0,0,0,0??????????????????????????????????????? 例 2，其它條件同例 1，在河底有一弱透水層，河水與地下水無直接的水力聯(lián)系，只是通過弱透水層越流補(bǔ)給地下水。 1— 11 描述地下水運(yùn)動的 數(shù)學(xué)模型及其解法 一、地下水流問題的數(shù)學(xué)模型 1. 數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型分隨機(jī)模型和確定性模型。即 如圖，當(dāng)含水層的邊界上有一弱透水層與其它水體或含水層相隔時，常為三類邊界。用下列式子表示： 三維流： 二維流： 式中： H— 表示 S1或 Γ1某點(diǎn) (x,y,z)或 (x,y)在 t時刻的水頭； φ φ2為已知函數(shù)。主要有：滲透系數(shù)、導(dǎo)水系數(shù)、給水度、貯水率、貯水系數(shù)、越流系數(shù)，還有源、匯項等。 1— 10 定解條件 前面我們給出了，不同類型地下水的微分方程。 單元體的中點(diǎn)為 P，在 P點(diǎn)沿 x方向單位時間，通過面積 Δyh的流量為 Qx，沿 x軸流量的變化率為 。 Dupuit假設(shè)：假設(shè)潛水面比較平緩，等水頭面鉛直，水流基本上水平，可忽略速度的垂直分量。 mHHKvmHHKv ????yxtHyxmHHKmHHKyxyHTyyxxHTx??????????????? ???????????????????????????????*111222?消去 Δx Δ y，得： 此式為非均質(zhì)各向同性越流含水層中地下水非穩(wěn)定運(yùn)動的基本微分方程。 在含水層全厚度上取一單元體。 越流： 當(dāng)承壓含水層與相鄰含水層之間存在水頭差時，地下水便會從高水頭含水層通過弱透水層流向低水頭含水層，這種現(xiàn)象稱越流。 源：在垂向上有水流入含水層稱源。 三個變量隨時間的變化轉(zhuǎn)化成壓力隨時間的變化。 那么，通過 abcd面中點(diǎn) 的單位時間單位面積的水流質(zhì)量為： 用 Taylor級數(shù)展開： 略去二階導(dǎo)數(shù)以上的高次項，得 Δt時間內(nèi)由 abcd面流入單元體的質(zhì)量為： 同理，通過 a180。d180。 d(ρ V)= ρdV +Vdρ=0 得： 由水的壓縮系數(shù)： 得： 所以， dρ=ρβdp 前面給出了含水層厚度 Δz和孔隙度 n隨壓力 p的變化關(guān)系： d(Δz)= Δzαdp ； dn=(1n) αdp 式中： α為多孔介質(zhì)壓縮系數(shù)。 W為負(fù)。后在主含水層中基本上是水平流動的。則 沿 x軸流入單元體的水量為： 沿 x軸流出單元體的水量為： 沿 x軸單位時間流入流出單元體的水量差為： 同理，可得沿 y軸單位時間流入流出單元體的水量差為： xQx??2xx xx?????2xx xx?????xxQx ????yyQy ????在 Z軸方向： 由下部承壓含水層單位時間流入越流含水層單元體的水量為： Qz2=v2 Δx 稱為越流因素，量綱為 [L]。也就是說，垂向分速度不能忽略。即 將： 代入上式，得 tH??tyxtH ??????tyxtHtyxWyyQxxQ yx ????????????? ??????????? ?xyHKhQyxHKhQ yx ?????????? 。如：承壓水一維穩(wěn)定流。 (三維流是一個封閉的曲面；二維流是一條封閉的曲線 ) (4) 初始條件：在某一選定的初始時刻 (t=0)滲流區(qū)內(nèi)水頭 H的分布情況。 ? ? ? ? ? ? 11 , 1 SzyxtzyxtzyxH S ?? ?? ? ? ? ? ? 12 , 1 ???? yxtyxtyxH ? 2. 第二類邊界 (也叫給定流量邊界 )條件：某一部分邊界單位面積上流入（或流出）的流量是已知的。為一類邊界。 本書討論的模型為確定性模型。（b ）剖面圖不透水基巖其數(shù)學(xué)模型為： ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?上和、在 DACDBCABnHDyxyxHyxHtDyxthPWHHdKyHzHKyxHzHKxzzz0,0,0,0???????????????????????????????????????? 另外，此時的河流可作為二類邊界處理（略）。 3 貯水率和貯水系數(shù) 貯水率、貯水系數(shù)、二者關(guān)系、說明 (4點(diǎn) ) 4 滲流 （ 1） 滲流 假想水流應(yīng)有以下特點(diǎn) (4點(diǎn) ) ， 滲流區(qū)或滲流場 （ 2） 典型單元體 5 滲流速度 過水?dāng)嗝妗?滲流速度、滲流速度與實際流速的關(guān)系。 3 地下水流問題的三種解法：解析法、數(shù)值法、模擬