【正文】 一次決策，以決定是否采取應(yīng)急措施，故本例為多階段（兩階段）決策問(wèn)題。（ ii）采取應(yīng)急措施。 ?對(duì)于較為復(fù)雜的決策問(wèn)題，尤其是需要作多階段決策的問(wèn)題，常采用較直觀的決策樹(shù)方法，但從本質(zhì)上講，決策樹(shù)方法仍然是一種期望值法。首先，求出采取方案 i而出現(xiàn)狀態(tài) j時(shí)的后悔值 。確定型決策的求解并非全是簡(jiǎn)單的，但由于這些問(wèn)題一般均有其自己的專(zhuān)門(mén)算法，本節(jié)不準(zhǔn)備再作介紹。 例 在開(kāi)采石油時(shí)，會(huì)遇到是否在某處鉆井的問(wèn)題。策略的設(shè)計(jì)并沒(méi)有包含在決策問(wèn)題的求解中，事實(shí)上，僅當(dāng)策略設(shè)計(jì)完成后，即策略集合給定后，決策問(wèn)題才被給定，從而才能被求解，因而，在用對(duì)策論方法研究實(shí)際課題時(shí)，應(yīng)當(dāng)特別注意策略的設(shè)計(jì)。守方設(shè)計(jì)了三種布雷方案 1, 2, 3,（圖 ），試求守方的贏得矩陣和最優(yōu)策略。對(duì)守方來(lái)講，布雷密度通?？煞殖?,1,2等有限個(gè)等級(jí)。 ? ?例 （防坦克地雷場(chǎng)的布設(shè)） 實(shí)戰(zhàn)中，攻方為了增強(qiáng)攻擊力，大量使用攻擊力強(qiáng)、防御堅(jiān)固的坦克；守方為了抵御對(duì)方攻擊，需要大量殺傷敵方的有生力量，有效對(duì)策之一是布設(shè)防坦克地雷場(chǎng)。 現(xiàn)在回過(guò)來(lái)討論美、德軍隊(duì)對(duì)策問(wèn)題。 上述分析估計(jì)是由 Bradley將軍作出的，據(jù)此構(gòu)造出 A方贏得矩陣 12123 113215 66213BA???????????????????????這是一個(gè) 3 2對(duì)策矩陣。如不需增援，后備軍可東進(jìn)繞行到德軍后方。Bradley將軍有三種可供選擇的策略：他可以命令后備軍原地待命，當(dāng)海峽形勢(shì)危急時(shí)支援第一軍或出擊東部敵人，以減輕第一軍的壓力。怎樣建立一個(gè)“公平”的分配原則是一個(gè)較為困難的問(wèn)題，將在第九章中介紹。 例 現(xiàn)有一對(duì)策問(wèn)題，雙方獲利情況見(jiàn)表 。 ? ????? ?2x 2x ?2x2x1xA方選擇混合策略 的目的是使得 Xm in m a xTTX YX R Y X R Y?1m in m a x ( )nT jjXY jX R y e?? ?1m in m a xnjjX YjEy?? ?其中 ej為只有第 j個(gè)分量為 1而其余分量均為零的向量， Ej = XTRej。 ?? ?借助幾何方法也可以解 m 2或 2 n的使用混合策略的對(duì)策問(wèn)題。若 E（ 1） ≠E（ 2），不妨設(shè) E（ 1） E（ 2），則 B方必采用 1以減少指揮部被轟炸的概率。若戰(zhàn)斗機(jī)阻擊 I，它將同時(shí)受到兩架轟炸機(jī)的射擊，被擊中的概率為 。 定義 若存在 m維概率向量和 n維概率向量，使得對(duì)一切 m維概率向量 X和 n 維概率向量 y有 則稱(chēng)（ , ）為混合策略對(duì)策問(wèn)題的鞍點(diǎn)。但此時(shí)若 B改換策略 2，又會(huì)使 A輸?shù)?4， …… 。 1i? ? 2i? ?1i? ? ?2i?定理 ，作為習(xí)題留給讀者自己去完成。 上述定理給出了對(duì)策問(wèn)題有穩(wěn)定解（簡(jiǎn)稱(chēng)為解）的充要條件。 m a x m in m in m a xi j i j Gjjiia a V?**,ij??**m in m a xi j ij Gj ja a V??**,ij?? **,ij??**ija *i? *j?對(duì)（ ）式中的贏得矩陣，容易發(fā)現(xiàn)不存在具有上述性質(zhì)的鞍點(diǎn)。 故兩人對(duì)策 G又可稱(chēng)為矩陣對(duì)策并可簡(jiǎn)記成 G = { SA, SB, R } 例 給定 G = { SA, SB, R}，其中 SA = { 1, 2, 3}， SB = { 1, 2, 3, 4} ? ?? ? ? ? ?1 2 3 4123 1 2 6 3 0 2 21 4 2 1 8 1 06 0 1 0 1 6R? ? ? ?????????????????從 R中可以看出，若 A希望獲得最大贏利 30，需采取策略 1，但此時(shí)若 B采取策略 4， A非但得不到 30，反而會(huì)失去 22。 二、零和對(duì)策 存在一類(lèi)特殊的對(duì)策問(wèn)題。 ? ? ? ? ?? ? ?( m, n) … ( m, j) … ( m, 2) ( m, 1) m … … … … … … … ( i, n) … ( i, j) … ( i, 2) ( i , 1) i … … … … … … … ( 2, n) … ( 2, j) … ( 2, 2) ( 2, 1) 2 ( 1, n) … ( 1, j) … ( 1, 2) ( 1, 1) 1 A的策略 n … J … 2 1 B的策略 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?（ 3） 贏得函數(shù)（或稱(chēng)支付函數(shù)）。策略集合可以是有限集也可以是無(wú)限集。兩名疑犯最終如何判刑取決于他們各自采取的態(tài)度，警方不能為他們做出選擇。 例 （石頭 — 剪子 — 布） 這是一個(gè)大多數(shù)人小時(shí)候都玩過(guò)的游戲。因而雙方或各方都要根據(jù)不同情況、不同對(duì)手做出自己的決擇，此時(shí)的決策稱(chēng)為對(duì)策。這時(shí)競(jìng)爭(zhēng)雙方或各方都要發(fā)揮自己的優(yōu)勢(shì)，使己方獲得最好結(jié)果。田忌的朋友孫臏給他出了一個(gè)主意，讓他用下等馬比齊王的上等馬，上等馬對(duì)齊王的中等馬，中等馬對(duì)齊王的下等馬，結(jié)果田忌二勝一敗，反而贏了一千金。局中人必須要擁用可供其選擇并影響最終結(jié)局的策略，在例 ，局中人是 A、 B兩名疑犯，警方不是局中人。當(dāng)然，有時(shí)可將它看成一個(gè)多階段對(duì)策中的子對(duì)策。對(duì)策問(wèn)題的全體純局勢(shì)構(gòu)成的集合 S稱(chēng)為此對(duì)策問(wèn)題的局勢(shì)集合。例如，表 給出了例 。綜上所述，當(dāng)遇到零和對(duì)策或可轉(zhuǎn)化為零和對(duì)策的問(wèn)題時(shí)， R可用通常意義下的矩陣表示，否則 R的元素為一兩維矢量。若純局勢(shì)（ ）使得 ，則稱(chēng)（ ）為對(duì)策 G的鞍點(diǎn)或穩(wěn)定解，贏得矩陣中與（ ）相對(duì)應(yīng)的元素 稱(chēng)為贏得矩陣的鞍點(diǎn)， 與 分別稱(chēng)為局中人 A與 B的最優(yōu)策略。故有 ? ?m a x m in m inij p j p qjji a a a? ? ? ?m in m a x m a xij iq p qj iia a a?? ? ? ?從而可得 μ +ν ≥0 ，但根據(jù)定理 ， μ +ν ≤0 必成立，故必有 μ +ν =0。若（ , j1）、（ , j2）均為對(duì)策 G的解， 則（ , j2）和（ , j1）也必為 G的解。例如，如果 B采用策略 1，而 A改換策略 1，則 A可收益 3。 對(duì)于需要使用混合策略的對(duì)策問(wèn)題，也有具有穩(wěn)定解的對(duì)策問(wèn)題的類(lèi)似結(jié)果。若戰(zhàn)斗機(jī)阻擊后面的轟炸機(jī) II，它僅受 II的射擊，被擊中的概率為 （ I來(lái)不及返回?fù)羲?82x1+x2，而 B采用 2時(shí)， A方轟炸機(jī)攻擊指揮部的概率的期望值為 E（ 2） =x1+。在軸 I上取 BB2，它們到 x軸的距離分別的 a11和 a12，表示在 A采取策 略 1 即 (x2=0）時(shí) A方在 B方分別采取策略 1 和 2下的贏得，如圖 。故 A的最佳混合策略為以 =1－ 概率取 1，以概率取 2（注： B的最佳混合策略可類(lèi)似用幾何方法求得）。 三、非零和對(duì)策 除了零和對(duì)策外，還存在著另一類(lèi)對(duì)策問(wèn)題，局中人獲利之和并非常數(shù)。當(dāng)然，這里還存在著一個(gè)留待解決而又十分關(guān)鍵的問(wèn)題：如何分享總獲利，如果不能達(dá)到一個(gè)雙方（或各方）都能接受的“公平”的分配原則，則合作仍然不能實(shí)現(xiàn)。 Bradley將軍的問(wèn)題是如何調(diào)動(dòng)他的后備軍，后備軍駐扎在海峽南部。 ?? 16（ 3）（ 3, 1），估計(jì)美軍可以根據(jù)需要增援。 ? ?23情況（ 4）、（ 5）、（ 6）見(jiàn)圖 （ 4）、（ 5）（ 6）所示。 1 0kiipp? ? ?1\ { , , }kA A i iSS ??? ?{ , , }ABG S S R? ? ??利用這一定理，有時(shí)對(duì)策問(wèn)題可先進(jìn)行化簡(jiǎn)，降低矩陣的階數(shù)。 Von Kluge將軍指揮的德軍向西進(jìn)攻，開(kāi)始時(shí)德軍占領(lǐng)了海峽，但隨之即被美軍包圍遭到了全軍復(fù)滅， Von Kluge本人在失敗后自殺。因?yàn)橹挥杏邢迋€(gè)防御正面，用有限個(gè)進(jìn)攻策略來(lái)描述敵方的進(jìn)攻狀態(tài)是非常接近實(shí)際情況的。攻方一個(gè)坦克梯隊(duì)的 20輛坦克展開(kāi)成 1公里寬的陣面，但既可能從左側(cè)進(jìn)攻（策略 1）也可能從右側(cè)進(jìn)攻（策略 2）。 ? ? ?由本例可以看出，在決策問(wèn)題中，策略的設(shè)計(jì)至關(guān)重要，它直接影響到贏得矩陣?？晒┻x擇的行動(dòng)方案叫做策略，這是可控因素，選擇哪一方案由決策者決定。值得一提的是策略集也可以是無(wú)限集，例如，線性規(guī)劃就可行看成一個(gè)策略集是限集的確定型決策，問(wèn)題要求決策者從可行解集合（策略集）中挑選出最優(yōu)解。 ? ? ?風(fēng)險(xiǎn)型決策也可采用期望后悔值法求解。 證明：由 得 m a xij k j ijkl a a??m a xij ij k jkl a a?? 故 1 1 1m a xn n nj i j j i j j k jkj j jp l p a p a? ? ???? ? ?等式（ ）的右端項(xiàng)為一常數(shù)，其左端項(xiàng)為采取策略 i時(shí)期后悔值與期望收益值之和，從而，若某策略使期望收益最大，則該策略必使期望后悔值最小，定理得證。 如遇到小風(fēng)暴，有兩個(gè)備選方案：（ i）維持正常速度施工，支付工程延期損失費(fèi) 20220元。 本例要求作多次決策，工程初期應(yīng)決定是按正常速度施工還是提前緊急加班。 （ 3）計(jì)算第二級(jí)機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn) B處的效益期望值 E(B) = 0＋ （－ 19800）＋ （－ 50000） =－ 14900 并將－ 14900標(biāo)在 B點(diǎn)旁。 例 設(shè)存在五種可能的自然狀態(tài)，其發(fā)生的概率未知。 作決策時(shí)，決策者先適當(dāng)選取一個(gè) t的值；再對(duì)各方案 1求出 ； 最后再作比較，找出使 最大的方案。而且，即使對(duì)同一決策者，在處理不同決策問(wèn)題時(shí)也可能采取不同的方法。試確定該商品的最佳進(jìn)貨量。 2725( ) 0 .5 2 0 .6 7P??????2825( ) 0 .7 2 0 .6 7P??????最佳平均利潤(rùn)為 28252 8 5 7 . 5 ( 2 8 ) ( ) 1 3 3 . 1P????? ? ? ??（元） 167。 下面通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明各步驟中所做的工作。經(jīng)過(guò)雙方溝通，分析者了解到如下信息：決策者的目的是合理利用企業(yè)的留成利潤(rùn)，而利潤(rùn)的利用是否合理，決策者的主要標(biāo)準(zhǔn)為：（ 1）是否有利于調(diào)動(dòng)企業(yè)職工的積極性，（ 2）是否有利于提高企業(yè)的生產(chǎn)能力，（ 3）是否有利于改善職工的工作、生活環(huán)境。但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。容易看出，若 xi和 xj對(duì) Z的影響之比 為 aij，則 xj和 xi對(duì) Z的影響之比應(yīng)為 。 如果在構(gòu)造成對(duì)比較判斷矩陣時(shí)，確實(shí)感到僅用 1~9及其倒數(shù)還不夠理想時(shí)，可以根據(jù)情況再采用因子分解聚類(lèi)的方法，先比較類(lèi)，再比較每一類(lèi)中的元素。 (12nn? ）定理 正互反矩陣 A的最大特征根 λmax必為正實(shí)數(shù)，其對(duì)應(yīng)特征向量的所有分量均為正實(shí)數(shù)。 ?（注：（ 1）、（ 2）可由一致矩陣定義得出，（ 3） — （ 5）均容易由線性代數(shù)知識(shí)得到，證明從略）。因而當(dāng) λmax=n時(shí)必有 =1， 于是 aijajk=aik i,j,k = 1,2,…, n成立， A為一致矩陣。利用線性代數(shù)知識(shí)可以證明， A的 n個(gè)特征根之和等于其對(duì)角線元素之和（即 n）故 CI事實(shí)上是 A的除 λmax以外其余 n－ 1個(gè)特征根的平均值的絕對(duì)值。經(jīng)大量實(shí)例比較， Saaty認(rèn)為，在 CR認(rèn)為判斷矩陣具有較為滿(mǎn)意的一致性，否則就應(yīng)當(dāng)重新調(diào)整判斷矩陣，直至具有滿(mǎn)意的一致性為止。 類(lèi)似求措施層中的 P P2在 C1中的權(quán)值， P P3在 C2中的權(quán)值及 P P2在 C1中的權(quán)值：