【正文】 ? 60)3 3180(90180 12 tgcq ?? 603cq03648 23 ???? gKsss⒌ 求與虛軸的交點(diǎn)，此時(shí)特征方程為 解：⒈求出開環(huán)零極點(diǎn)，即： jpp 3 3440 3,21 ???? ，⒉ 實(shí)軸上的根軌跡： (－ ∞， 0] 將 代入得： ， wjs ? 08 2 ???gpKw 03643 ??? ww,0 ????? ww35 12,0?gpK8,0?pK18Jun21 40 ⒍ 求分離會(huì)合點(diǎn)：由特征方程 03648 23 ???? gKsss 82,1 ??? gKs)3648( 23 sssK g ????0)364163( 2 ????? ssdsdK g由圖知這點(diǎn)在根軌跡上，所以是分離會(huì)合點(diǎn) 。 18Jun21 45 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 6 5 4 3 2 10123456 8 7 6 5 4 3 2 1 1 5 4 3 2 1012345)6)(4)(2()( ???? ssssKsG gk)4)(2()( ??? sss KsG gk160?gpK310?pK16???????gK分離點(diǎn)48?gpK6?pK3316????gK分離點(diǎn)18Jun21 46 ② 增加零點(diǎn)對根軌跡的影響 一般情況下，在原開環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)的左邊增加零點(diǎn)會(huì)使原根軌跡向左半部移動(dòng)，舉例說明如下。 下面討論零點(diǎn)為不同值對根軌跡的影響 18Jun21 49 8 6 4 2 01 31 197531135791 11 3 8 6 4 2 0 1 0 551 0)10()5()(2 ???sssKsG gk )10( )3()( 2 ??? ss sKsG gk18Jun21 50 8 6 4 2 0 1 0 551 0 8 6 4 2 6 4 20246)10()3()(2 ???sssKsG gk)10()1()(2 ???sssKsG gk18Jun21 51 ② 移動(dòng)極點(diǎn)對根軌跡的影響 8 6 4 2 6 4 20246)10()1()(2 ???sssKsG gk 7 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1012345)8()1()(2 ???sssKsG gk18Jun21 52 小結(jié) 需掌握繪制根軌跡的十個(gè)準(zhǔn)則 ? 根軌跡的連續(xù)性和對稱性； ? 根軌跡的支數(shù)、起始點(diǎn)和漸近線； ? 根軌跡實(shí)軸上的點(diǎn)和根軌跡的分離點(diǎn)，會(huì)合點(diǎn)； ? 根軌跡的出射角、入射角和虛軸的交點(diǎn)； ? 閉環(huán)極點(diǎn)之積和之和。 )2()4()(???sssKsG gk⒊ 漸近線只有一條，即負(fù)實(shí)軸。此時(shí)分離角為 ?????????????1806060)12(3180)12( kkdq8 6 4 2 0 286420246818Jun21 41 二、根軌跡繪圖的幾個(gè)重要特點(diǎn) ⒈ 在開環(huán)傳遞函數(shù)增加極點(diǎn)和零點(diǎn)對根軌跡的影響 ① 增加極點(diǎn)對根軌跡的影響 一般情況下，在原開環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)的左邊增加極點(diǎn)會(huì)使原根軌跡向右半部移動(dòng)，雖然很難作出確切的說明和提供必要的證明，但可以用幾個(gè)例子說明。 用勞斯判據(jù)或用 s=jw代入特征方程求得。 共軛虛根為輔助方程 的根。這時(shí)的增益 Kgp稱為臨界根軌跡增益。 根軌跡的出射角和入射角 一般情況下，可求出根軌跡離開復(fù)極點(diǎn) － px的出射角 qxc為： 出射角是根軌跡離開復(fù)極點(diǎn)的切線與正實(shí)軸的夾角；入射角是根軌跡趨于復(fù)零點(diǎn)沿有根軌跡的方向做切線與正實(shí)軸的夾角。 顯然，分離回合點(diǎn)為 ，而 。 有時(shí)也稱從實(shí)軸分離進(jìn)入復(fù)平面的點(diǎn)為分離點(diǎn)；而稱從復(fù)平面進(jìn)入實(shí)軸的點(diǎn)為會(huì)合點(diǎn)。 實(shí)軸上的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn) AB 0?gK0?gK??gK??gK如圖所示某系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖 隨著 Kg的繼續(xù)增大，又在實(shí)軸上B點(diǎn)相遇并分別沿實(shí)軸的左右兩方運(yùn)動(dòng)。 ； ④ 試探點(diǎn)右邊的極點(diǎn) p1對試探點(diǎn)構(gòu)成的向量的相角為 180176。 )5)(1()( ??? sssKsG gk[解 ]：根軌跡有 3支。故 n階系統(tǒng)有 m支根軌跡的終點(diǎn)在 m個(gè)有限零點(diǎn)處 。 n階特征方程有 n個(gè)根。以下的討論是針對參數(shù) Kg的 180度根軌跡的性質(zhì)。下面討論的內(nèi)容通過研究根軌跡和開環(huán)零極點(diǎn)的關(guān)系，根軌跡的特殊點(diǎn)，漸近線和其他性質(zhì)將有助于減少繪圖工作量，能夠較迅速地畫出根軌跡的大致形狀和變化趨勢。 n階系統(tǒng)有n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，分別是 n支根軌跡的起點(diǎn)。 － zi是開環(huán)傳遞函數(shù)有限值的零點(diǎn)，有 m個(gè)。若終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處，求漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)和傾角。 ； ③ 試探點(diǎn)左邊的極點(diǎn) p2對試探點(diǎn)構(gòu)成的向量的相角為 0176。 ??實(shí)軸上的根軌跡例題 18Jun21 15 ???1p?2p?z?根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)： 若干根軌跡在復(fù)平面上某一點(diǎn)相遇后又分開，稱該點(diǎn)為分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。 如果實(shí)軸上根軌跡在開環(huán)零點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)之間，則它們之間可能既無分離點(diǎn)也無會(huì)合點(diǎn)，也可能既有分離點(diǎn)也有會(huì)合點(diǎn)。 實(shí)軸上根軌跡區(qū)間是： ]0,1[]5,( ???? 和?????????527 472 3722,1s注意： 分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)也可能出現(xiàn)在復(fù)平面上，由于根軌跡對稱于實(shí)軸，所以，復(fù)平面上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)必對稱于實(shí)軸。 同樣，進(jìn)入復(fù)零點(diǎn) － zy的根軌跡入射角 qyr為： ?????????njjmyiiiyr k11)12( ???q ?式中： ?i為除了 － zy以外的開環(huán)零點(diǎn)到 － zy的矢量相角； ?j為各開環(huán)極點(diǎn)到 － zy的矢量相角。則閉環(huán)特征方程至少有一對共軛虛根。勞斯陣列中可能全為零的行有二。 mnzpmiinjj?????????? 11? ?2,1,0)12( ?????? kmnk ?q????????nxiiimiixc11???q?????)()(向量輻角從其他極點(diǎn)到該極點(diǎn)的向量輻角從各個(gè)零點(diǎn)到該極點(diǎn)的?????????niimyiiiyr11???q?????)()(向量輻角從各個(gè)極點(diǎn)到該零點(diǎn)的向量輻角從其他零點(diǎn)到該零點(diǎn)的?18Jun21 32 五、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)； 六、根軌跡的分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)； 結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對稱性、根軌跡的支數(shù)、起始點(diǎn)和終點(diǎn)，閉環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)之和及之積等性質(zhì)畫出根軌跡。 而且是三重根點(diǎn)。 [例 ]開環(huán)傳遞函數(shù)為： 畫根軌跡。