20xx高考數(shù)學(xué)文人教a版一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：高考大題專項(xiàng)(一)-突破2-利用導(dǎo)數(shù)研究與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的問題(更新版)
【正文】 義域?yàn)?1,+∞).①當(dāng)x∈(1,0]時(shí),由(1)知,f39。(x)=sinx+1(1+x)2.當(dāng)x∈1,π2時(shí),g39。F120,所以F(x)分別在區(qū)間1e2,12,12,e上各存在一個(gè)零點(diǎn),函數(shù)F(x)存在兩個(gè)零點(diǎn).(2)假設(shè)f(x)≥g(x)對(duì)任意x∈[1,+∞)恒成立,即lnxmxm2x≥0對(duì)任意x∈[1,+∞)恒成立.令h(x)=lnxmxm2x(x≥1),則h39。(t)g39。(x)=lnxlnx+a2ln2=lnxln(x+a),當(dāng)x0時(shí),G39。(x)0恒成立,即F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴F(x)F(0)=0,即ex1xex2,∴l(xiāng)nex1xx2.【例10】已知函數(shù)f(x)=ln xkx,其中k∈(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn)x1,x2(x1x2),求證:lnx2lnx1x2x1(x2+x1)2.分析證lnx2lnx1x2x1(x2+x1)2,即證lnx2lnx12(x2x1)x2+x1,只要證lnx2x12(x2x1)x2+x1.設(shè)t=x2x1(t1),則只要證lnt2(t1)t+1(t1).令g(t)=lnt2(t1)t+1.【例11】已知函數(shù)f(x)=ax2+:當(dāng)a≥1時(shí),f(x)+e≥0.分析當(dāng)a≥1時(shí),f(x)+e=ax2+x1ex+e≥x2+x1ex+e=(x2+x1+ex+1)ex.設(shè)g(x)=x2+x1+ex+1,則g39。(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.解題心得對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)問題,解題策略是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn),三種方式中(一平一曲、一斜一曲、兩曲)(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)情況,方法二是分離參數(shù)法,降低函數(shù)的解決難度.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2020全國1,文20)已知函數(shù)f(x)=exa(x+2).(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性。②二次求導(dǎo)或三次求導(dǎo)。(2)由函數(shù)零點(diǎn)或方程的根的情況求參數(shù)的取值范圍.方法一:(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值。(2)若?x0∈[1,+∞),使得f(x0)g(x0),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.考點(diǎn)與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的證明問題【例2】(2019全國1,理20)已知函數(shù)f(x)=sin xln(1+x),f39。若推出矛盾,則否定先前假設(shè),對(duì)象不存在.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2020湖北名師聯(lián)盟一模,文21)已知函數(shù)f(x)=ln x12ax2x.(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2)若函數(shù)f(x)在x=1處的切線平行于x軸,是否存在整數(shù)k,使不等式x[f(x)+x1]k(x2)在x1時(shí)恒成立?若存在,求出k的最大值。(x)=g39。(x)=ex+(x1)exkx=xexkx=x(exk),①當(dāng)0k≤1時(shí),令f39。(x)=0,解得x=12.當(dāng)x∈0,12,F39。(x)不恒為0,所以函數(shù)h(x)=lnxmxm2x在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增.又因?yàn)閔(1)=ln1m1m21=0,所以h(x)≥0對(duì)任意x∈[1,+∞)≤2不符合題意.②當(dāng)m2時(shí),令h39。π20,可得g39。(x)0,故f(x)在區(qū)間(1,0)上單調(diào)遞減.又f(0)=0,從而x=0是f(x)在區(qū)間(1,0]上的唯一零點(diǎn).②當(dāng)x∈0,π2時(shí),由(1)知,f39。(x)0,所以f(x)在區(qū)間π2,0,f(π)0,所以f(x)在區(qū)間π2,π上有唯一零點(diǎn).④當(dāng)x∈(π,+∞)時(shí),ln(x+1)1,所以f(x)0,從而f(x)在區(qū)間(π,+∞)上沒有零點(diǎn).綜上,f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)解f(x)=exsinx,定義域?yàn)镽.f39。π2=eπ220,g39。(x)=2ae2x+(a2)ex1=(2ex+1)(aex1),顯然2ex+10.①當(dāng)a≤0時(shí),aex10,所以f39。(x)0,當(dāng)x0時(shí),g39。(x)=0可得x=∈(∞,lna)時(shí),f39。(x)0。(1)=1a1=a.∵函數(shù)f(x)在x=1處的切線平行于x軸,∴a=0,∴f(x)=lnxx.∵不等式x[f(x)+x1]k(x2)在x1時(shí)恒成立,∴xlnxxk(x2)在x1時(shí)恒成立,即xlnx(k+1)x+2k0在x1時(shí)恒成立,令g(x)=xlnx(k+1)x+2k,x1,∴g39。(k)0,函數(shù)h(k)單調(diào)遞減,∴h(k)max=h(ln2)=2ln22=2(ln21)0,∴不存在整數(shù)k使得2kek0恒成立.綜上所述不存在滿足條件的整數(shù)k. 13
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