20xx屆安徽省六安市舒城中學(xué)高三下學(xué)期仿真模擬(二)數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)(更新版)
【正文】 決本題的關(guān)鍵點是借助于平面向量的坐標(biāo)表示，利用點在曲線上得出方程，代入平行四邊形的面積公式，消去參數(shù)得出定值，考查學(xué)生計算能力，屬于中檔題．21．已知函數(shù).（1）若不存在極值點，求的取值范圍；（2）若，證明：.【答案】（1）（2）詳見解析【詳解】試題分析：（1）設(shè)，則.①當(dāng)，即時，所以在上單調(diào)遞增；又，即，所以在上恰有一個零點，且當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，不合題意.（2）當(dāng)，即時，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.①當(dāng)即時，恒成立，即在上單調(diào)遞增，無極值點，符合題意.②當(dāng)，即時，所以，所以在上恰有一個零點，且當(dāng)時，；當(dāng)時，；即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，不合題意.（2）因為，所以，要證明，只需證明，當(dāng)時，因為，所以成立；當(dāng)時，設(shè)，則，設(shè)，則，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，即， 試題解析：（1）的定義域為，且，設(shè)，則.①當(dāng)，即時，所以在上單調(diào)遞增；又，即，所以在上恰有一個零點，且當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，不合題意.（2）當(dāng)，即時，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.①當(dāng)即時，恒成立，即在上單調(diào)遞增，無極值點，符合題意.②當(dāng)，即時，所以，所以在上恰有一個零點，且當(dāng)時，；當(dāng)時，；即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，不合題意.綜上，的取值范圍是；（2）因為，所以，要證明，只需證明，當(dāng)時，因為，所以成立；當(dāng)時，設(shè)，則，設(shè)，則，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，綜上，若，則.點睛：考察導(dǎo)數(shù)的綜合運用，注意分類討論思想和不等式證明的分離參數(shù)法和轉(zhuǎn)化為恒成立問題求最值.22．據(jù)說，年過半百的笛卡爾擔(dān)任瑞典一小公國的公主克里斯蒂娜的數(shù)學(xué)老師，日久生情，彼此愛慕，其父國王知情后大怒，將笛卡爾流放回法國，并軟禁公主，笛卡爾回法國后染上黑死病，連連給公主寫信，死前最后一封信只有一個公式：國王不懂，將這封信交給了公主，公主用笛卡爾教她的坐標(biāo)知識，畫出了這個圖形“心形線”.明白了笛卡爾的心意，登上了國王寶座后，派人去尋笛卡爾，其逝久矣（僅是一個傳說）.心形線是由一個圓上的一個定點，當(dāng)該圓繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周上滾動時，這個定點的軌跡，因其形狀像心形而得名．在極坐標(biāo)系中，方程表示的曲線就是一條心形線，如圖，以極軸所在直線為軸，極點為坐標(biāo)原點的直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）若曲線與相交于、三點，求線段的長.【答案】（1）；（2）【分析】(1)由參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,再由普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可得出答案。(2)聯(lián)立曲線和的普通方程求解A和B兩點坐標(biāo),再利用兩點之間距離公式求解線段的長度.【詳解】(1)由,(為參數(shù)),消參數(shù)化簡得普通方程:,令,即化簡得,即即得曲線的極坐標(biāo)方程為().(2)由曲線極坐標(biāo)方程,得其普通方程為:聯(lián)立解得所以由兩點間距離公式得【點睛】本題考查了極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程,普通方程的相互轉(zhuǎn)化,考查了極坐標(biāo)系下求兩曲線交點弦弦長的問題,屬于一般難度的題.23．設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－a|，g(x)＝x＋2.(1)當(dāng)a＝1時，求不等式f(x)＋f(－x)≤g(x)的解集；(2)求證：中至少有一個不小于.【答案】(1)；(2)證明見解析.【詳解】(1)當(dāng)a＝1時，|2x－1|＋|2x＋1|≤x＋2，化簡可得或 或 解得0≤x或≤x≤綜上，不等式的解集為).(2)假設(shè)都小于，則 ，前兩式相加得－a與第三式a矛盾.因此假設(shè)不成立，故中至少有一個不小于.第 25 頁 共 25 頁
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