20xx屆安徽省六安市舒城中學高三下學期仿真模擬(二)數學(文)試題(解析版)(更新版)
【正文】 決本題的關鍵點是借助于平面向量的坐標表示，利用點在曲線上得出方程，代入平行四邊形的面積公式，消去參數得出定值，考查學生計算能力，屬于中檔題．21．已知函數.（1）若不存在極值點，求的取值范圍；（2）若，證明：.【答案】（1）（2）詳見解析【詳解】試題分析：（1）設，則.①當，即時，所以在上單調遞增；又，即，所以在上恰有一個零點，且當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以是的極小值點，不合題意.（2）當，即時，令，得，當時，；當時，；即在上單調遞減，在上單調遞增.①當即時，恒成立，即在上單調遞增，無極值點，符合題意.②當，即時，所以，所以在上恰有一個零點，且當時，；當時，；即在上單調遞減，在上單調遞增，所以是的極小值點，不合題意.（2）因為，所以，要證明，只需證明，當時，因為，所以成立；當時，設，則，設，則，因為，所以，所以在上單調遞增，所以，即，所以在上單調遞增，所以，即， 試題解析：（1）的定義域為，且，設，則.①當，即時，所以在上單調遞增；又，即，所以在上恰有一個零點，且當時，；當時，；所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以是的極小值點，不合題意.（2）當，即時，令，得，當時，；當時，；即在上單調遞減，在上單調遞增.①當即時，恒成立，即在上單調遞增，無極值點，符合題意.②當，即時，所以，所以在上恰有一個零點，且當時，；當時，；即在上單調遞減，在上單調遞增，所以是的極小值點，不合題意.綜上，的取值范圍是；（2）因為，所以，要證明，只需證明，當時，因為，所以成立；當時，設，則，設，則，因為，所以，所以在上單調遞增，所以，即，所以在上單調遞增，所以，即，綜上，若，則.點睛：考察導數的綜合運用，注意分類討論思想和不等式證明的分離參數法和轉化為恒成立問題求最值.22．據說，年過半百的笛卡爾擔任瑞典一小公國的公主克里斯蒂娜的數學老師，日久生情，彼此愛慕，其父國王知情后大怒，將笛卡爾流放回法國，并軟禁公主，笛卡爾回法國后染上黑死病，連連給公主寫信，死前最后一封信只有一個公式：國王不懂，將這封信交給了公主，公主用笛卡爾教她的坐標知識，畫出了這個圖形“心形線”.明白了笛卡爾的心意，登上了國王寶座后，派人去尋笛卡爾，其逝久矣（僅是一個傳說）.心形線是由一個圓上的一個定點，當該圓繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周上滾動時，這個定點的軌跡，因其形狀像心形而得名．在極坐標系中，方程表示的曲線就是一條心形線，如圖，以極軸所在直線為軸，極點為坐標原點的直角坐標系中，已知曲線的參數方程為（為參數）.（1）求曲線的極坐標方程；（2）若曲線與相交于、三點，求線段的長.【答案】（1）；（2）【分析】(1)由參數方程轉化為普通方程,再由普通方程轉化為極坐標方程即可得出答案。(2)聯(lián)立曲線和的普通方程求解A和B兩點坐標,再利用兩點之間距離公式求解線段的長度.【詳解】(1)由,(為參數),消參數化簡得普通方程:,令,即化簡得,即即得曲線的極坐標方程為().(2)由曲線極坐標方程,得其普通方程為:聯(lián)立解得所以由兩點間距離公式得【點睛】本題考查了極坐標方程,參數方程,普通方程的相互轉化,考查了極坐標系下求兩曲線交點弦弦長的問題,屬于一般難度的題.23．設函數f(x)＝|2x－a|，g(x)＝x＋2.(1)當a＝1時，求不等式f(x)＋f(－x)≤g(x)的解集；(2)求證：中至少有一個不小于.【答案】(1)；(2)證明見解析.【詳解】(1)當a＝1時，|2x－1|＋|2x＋1|≤x＋2，化簡可得或 或 解得0≤x或≤x≤綜上，不等式的解集為).(2)假設都小于，則 ，前兩式相加得－a與第三式a矛盾.因此假設不成立，故中至少有一個不小于.第 25 頁 共 25 頁
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