【正文】 夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余．，．，所以，直線與平面所成的角為．小結(jié)：求直線與平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問(wèn)題是（1）先判斷直線和平面的位置關(guān)系；（2）當(dāng)直線和平面斜交時(shí)，常用以下步驟：①構(gòu)造——作出斜線與射影所成的角，②證明——論證作出的角為所求的角，③計(jì)算——常用解三角形的方法求角，④結(jié)論——點(diǎn)明直線和平面所成的角的值.考點(diǎn)6 二面角此類(lèi)題主要是如何確定二面角的平面角，應(yīng)重視.典型例題例8． 如圖，已知直二面角，直線和平面所成的角為．（I）證明； ABCQP（II）求二面角的大小．命題目的：本題主要考查直線與平面垂直、二面角等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.ABCQPOH過(guò)程指引：（I）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)．因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以．而，所以，從而，又，所以平面．因?yàn)槠矫?，故．（II）解法一：由（I）知，又，所以．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，由三垂線定理知，．故是二面角的平面角．由（I）知，所以是和平面所成的角，則，不妨設(shè)，則，．在中，所以，于是在中，．故二面角的大小為．解法二：由（I）知，故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．因?yàn)?，所以是和平面所成的角，則．不妨設(shè)，則，．ABCQPOxyz在中，所以．則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，．所以，．設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得取，得．易知是平面的一個(gè)法向量．設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，．所以．故二面角的大小為．小結(jié)：，：①由二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線確定棱，②由二面角兩個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱，③補(bǔ)形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計(jì)算的方法，這也是解決無(wú)棱二面角的一種常用方法，即當(dāng)二面角的平面角不易作出時(shí)，可由平面向量計(jì)算的方法求出二面角的大小.例9．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB為直角，AB‖CD，AD=CD=2AB, E、F分別為PC、CD的中點(diǎn).（Ⅰ）試證：CD平面BEF；（Ⅱ）設(shè)PA＝k,因此△ABC為正三角形. ∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心,連結(jié)BH,∠NBH為NB與平面ABC所成的角.在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = . 解法二： 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系M－xyz. 令MN=1, 則有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),(Ⅰ)∵M(jìn)N是 ll2的公垂線, l1⊥l2, ∴l(xiāng)2⊥平面ABN.l2平行于z軸. 故可設(shè)C(0,1,m). 于是 =(1,1,m), =(1,－1,0). ∴ C、45176。則四棱錐A—MNCB的體積為 （ ）A、 B、 C、 D、3[思路啟迪]先找出二面角平面角，即∠AKL ,再在△AKL中求出棱錐的高h(yuǎn)，再利用V＝Sh 即可.解答過(guò)程：在平面圖中，過(guò)A作AL⊥BC，交MN于K，交BC于L.則AK⊥MN，KL⊥MN.∴ ∠AKL＝30176。D=208。∴△SDA是等腰直角三角形．又M是斜邊SA的中點(diǎn)，∴DM⊥SA．∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影．由三垂線定理得DM⊥SB．圖3∴異面直線DM與SB所成的角為90176。．（3）設(shè)P(t,t,0)(0≤t≤)得∴=（，0，0）又∵PF和BC所成的角是60186。．4． 解：（1）在直角梯形ABCD中， 由已知DAC為等腰直角三角形， ∴ , 過(guò)C作CH⊥AB，由AB=2， 可推得 AC=BC= ∴ AC⊥BC ．取 AC的中點(diǎn)E，連結(jié)，則 ⊥AC 又 ∵ 二面角為直二面角，∴ ⊥ 又 ∵ 平面 ∴ BC⊥ ∴ BC⊥，而， ∴ BC⊥ ∴ 為二面角的平面角．由于， ∴二面角為． （2）取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)，再過(guò)作，垂足為O，連結(jié)OE．∵ AC⊥， ∴ AC⊥ ∴ 為二面角的平面角， ∴ ． 在中， ∴ 5．解法一: (1)記AC與BD的交點(diǎn)為O,連接OE, ∵O、M分別是AC、EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形，∴四邊形AOEM是平行四邊形，∴AM∥OE．∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDE．(2)在平面AFD中過(guò)A作AS⊥DF于S，連結(jié)BS，∵AB⊥AF， AB⊥AD， ∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂線定理得BS⊥DF．∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角．在RtΔASB中，∴∴二面角A—DF—B的大小為60186。,AD=DC=AB=a,(如圖一)將△ADC 沿AC折起，使D到．記面AC為a,面ABC為b．面BC為g． （1）若二面角aACb為直二面角（如圖二），求二面角bBCg的大小。求四棱錐的體積；求二面角P－BC－D的大小.思路啟迪①找棱錐高線是關(guān)鍵，由題中條件可設(shè)△PAD的高PH即是棱錐的高.②找出二面角平面角∠PEH，在Rt△PHE中即可求出此角.解答過(guò)程：①∵ PA⊥AB ，AD⊥AB.∴ AB⊥面PAD .又AB面ABCD.∴ 面PAD⊥面ABCD.在面PAD內(nèi)，作PH⊥AD交AD延長(zhǎng)線于H.則PH⊥面ABCD ，即PH就是四棱錐的高.又∠PAD＝60176。[思路啟迪] 畫(huà)出折疊后的圖形，可看出GH，IJ是一對(duì)異面直線，即求異面直線所成角.過(guò)點(diǎn)D分別作IJ和GH的平行線，即AD與DF，所以 ∠ADF即為所求.因此GH與IJ所成角為60176。,∴△ABC為正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ). 連結(jié)MC,作NH⊥MC于H,設(shè)H(0,λ, λ) (λ0). ∴=(0,1－λ,－λ), =(0,1, ) ∵ GH=GBAB,且二面角EBDC的平面角大于,求k的取值范圍.命題目的：本題主要考查直線與平面垂直、二面角等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.過(guò)程指引：方法一關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g距離和角；方法二關(guān)鍵是掌握利用空間向量求空間距離和角的一般方法.解答過(guò)程：解法一：（Ⅰ）證：由已知DFAB且DAD為直角，故ABFD是矩形，從而CDBF.又PA底面ABCD,CDAD，△PDC中，E、F分別PC、CD的中點(diǎn)，故EF∥PD,從而CDEF,由此得CD面BEF. 　　　（Ⅱ）,則在△PAC中易知EG∥PA底面ABCD,，過(guò)G作GHBD,垂足為H,.設(shè)AB=a,則在△PAC中，有EG=PA=ka.以下計(jì)算GH，.因S△GBD=BD=1+(－1)+0=0 ∴AC⊥NB. (Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60176。 D、0176。.則四棱錐A—MNCB的高h(yuǎn)＝＝.＝.∴ ＝.∴ 答案 APAHEDBC，四棱錐P—ABCD中，底面是一個(gè)矩形，AB＝3，AD＝1，又PA⊥AB，PA＝4，∠PAD＝60176。BAD=90176。．解2：如圖3，取AB中點(diǎn)P，連結(jié)MP，DP．在△ABS中，由中位線定理得 MP//SB，是異面直線DM與SB所成的角．，又∴在△DMP中，有DP2=MP2+DM2，∴異面直線DM與SB所成的角為90176。．∴解得或（舍去），即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)．32 云集全國(guó)名校名師，專(zhuān)注備考、教研，提供優(yōu)質(zhì)教學(xué)資源