20xx屆安徽省蚌埠市高三下學(xué)期第四次教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)(更新版)
【正文】 若，則，且，故，所以則，（ⅱ）若，則，且，故在上為減函數(shù)，則．綜上，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和最值，本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的最大值，需分情況討論端點(diǎn)和極值的大小.21．已知橢圓的離心率為，過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、分別是橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，、為橢圓上異于、的兩點(diǎn)，滿足，求證：面積為定值．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，結(jié)合這三個(gè)量的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)直線的方程為，將這兩條直線分別與橢圓的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，求出以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由已知條件可得，解得，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)、由題意直線、的斜率存在，設(shè)直線的方程為①，設(shè)直線的方程為②，由（1）橢圓③，聯(lián)立①③得，解得，即，聯(lián)立②③，得，所以，即，易知，直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離為，所以，故面積為定值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線與直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與直線和曲線分別交于點(diǎn)，（均異于原點(diǎn)），若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）C:；l：；（2）4．【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程，消參后可得直線l直角坐標(biāo)方程；根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化關(guān)系，即可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)先求出直線的極坐標(biāo)方程，由直線與直線和曲線分別聯(lián)立，得出，兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，根據(jù)極坐標(biāo)中的弦長(zhǎng)公式，可得答案.【詳解】解：（1）由直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），消去得直線的直角坐標(biāo)方程為；由曲線的極坐標(biāo)方程為，兩邊同時(shí)乘以得，∵，∴曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）直線的極坐標(biāo)方程為，聯(lián)立解得聯(lián)立解得，由，解得．23．已知，為正數(shù)，且滿足．證明：（1）；（2）．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）先證明成立，再由展開(kāi)結(jié)合前面已知的結(jié)論即可證明不等式成立；（2）根據(jù)題中條件，可得，展開(kāi)利用均值不等式可證.【詳解】解：（1）∵，∴∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)椋瑸檎龜?shù)，且滿足，∴∴，即（2）∵∴當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，上式等號(hào)成立．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用均值不等式證明不等式，解答本題的關(guān)鍵是對(duì)常數(shù) 1的處理，由，則展開(kāi)即可證明，屬于中檔題.第 22 頁(yè) 共 22
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