20xx屆福建省廈門市湖濱中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題(含解析)(更新版)
【正文】 5000次動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，一次實(shí)驗(yàn)方案如下：選取3只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行檢驗(yàn)，當(dāng)3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明顯”，即確定“實(shí)驗(yàn)成功”；若有且只有1只“效果明顯”，則再取2只白鼠進(jìn)行二次檢驗(yàn)，當(dāng)2只白鼠均使用“效果明顯”，即確定“實(shí)驗(yàn)成功”，其余情況則確定“實(shí)驗(yàn)失敗”．設(shè)對(duì)每只白鼠的實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立，且使用“效果明顯”的概率均為．（Ⅰ）若，設(shè)該新藥在一次實(shí)驗(yàn)方案中“實(shí)驗(yàn)成功”的概率為，求的值；（Ⅱ）若動(dòng)物實(shí)驗(yàn)預(yù)算經(jīng)費(fèi)700萬(wàn)元，對(duì)每只白鼠進(jìn)行實(shí)驗(yàn)需要300元，其他費(fèi)用總計(jì)為100萬(wàn)元，問(wèn)該動(dòng)物實(shí)驗(yàn)總費(fèi)用是否會(huì)超出預(yù)算，并說(shuō)明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）該階段經(jīng)費(fèi)使用不會(huì)超出預(yù)算，理由見(jiàn)解析.【分析】（Ⅰ）根據(jù)互斥事件的概率，求一次檢驗(yàn)成功和經(jīng)過(guò)兩次檢驗(yàn)才成功的概率之和即可求解；（Ⅱ）設(shè)一次實(shí)驗(yàn)方案需要用到的經(jīng)費(fèi)為元，由題意可知的可能值為900，1500，求隨機(jī)變量的期望，利用導(dǎo)數(shù)求出期望的最大值，即可求總費(fèi)用的最大值，得出結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，一次檢驗(yàn)就取得“實(shí)驗(yàn)成功”的概率為；經(jīng)過(guò)兩次檢驗(yàn)才取得“實(shí)驗(yàn)成功”的概率為；在一次實(shí)驗(yàn)方案中“實(shí)驗(yàn)成功”的概率為．（Ⅱ）設(shè)一次實(shí)驗(yàn)方案需要用到的經(jīng)費(fèi)為元，則的可能值為900，1500．；．所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，所以在上單增；當(dāng)時(shí)，所以在上單減．所以的最大值為，因此實(shí)施一次此方案最高費(fèi)用為元所以動(dòng)物實(shí)驗(yàn)階段估計(jì)最高試驗(yàn)費(fèi)用為萬(wàn)元，因?yàn)椋栽撾A段經(jīng)費(fèi)使用不會(huì)超出預(yù)算．【點(diǎn)睛】本題主要考查了互斥事件的概率，離散型隨機(jī)變量的期望的最大值，實(shí)際問(wèn)題中的概率問(wèn)題，屬于難題.22．已知函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）2.【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)得，根據(jù)其正負(fù)即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）通過(guò)分離參數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在區(qū)間內(nèi)恒成立，再令，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理可求得的最值，即求得整數(shù)的最小值．【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋深}意得，因?yàn)?，由，得或（舍去），?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由恒成立，得，因?yàn)?，所以原命題等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)恒成立．令，則，令，則易見(jiàn)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，所以存在唯一的，使得，即，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有極大值，也為最大值，且 ，所以，又，所以,因?yàn)?，所以，故整?shù)的最小值為2．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值問(wèn)題，進(jìn)而解決恒成立問(wèn)題，考查了導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)存在但不可求的問(wèn)題，可借用整體代換的方法，屬于較難題.19
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