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專題02-函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)-【知識手冊】高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之考點(diǎn)卡片(更新版)

2025-04-05 05:29上一頁面

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【正文】 二年,當(dāng)?shù)卣_始對該商品征收稅率為p%(0<p<100,即銷售100元要征收p元)的稅收,于是該產(chǎn)品的出廠價(jià)上升為每件元,預(yù)計(jì)年銷售量將減少p萬件.(Ⅰ)將第二年政府對該商品征收的稅收y(萬元)表示成p的函數(shù),并指出這個函數(shù)的定義域;(Ⅱ)要使第二年該廠的稅收不少于16萬元,則稅率p%的范圍是多少?(Ⅲ)在第二年該廠的稅收不少于16萬元的前提下,要讓廠家獲得最大銷售金額,則p應(yīng)為多少? 解:(Ⅰ)依題意,第二年該商品年銷售量為(﹣p)萬件,年銷售收入為(﹣p)萬元,政府對該商品征收的稅收y=(﹣p)p%(萬元)故所求函數(shù)為y=(﹣p)p﹣p>0及p>0得定義域?yàn)?<p<…(4分)(II)由y≥16得(﹣p)p≥16化簡得p2﹣12p+20≤0,即(p﹣2)(p﹣10)≤0,解得2≤p≤10.故當(dāng)稅率在[,]內(nèi)時(shí),稅收不少于16萬元. …(9分)(III)第二年,當(dāng)稅收不少于16萬元時(shí),廠家的銷售收入為g(p)=(﹣p)(2≤p≤10)∵在[2,10]是減函數(shù)∴g(p)max=g(2)=800(萬元)故當(dāng)稅率為2%時(shí),廠家銷售金額最大. 這個典型的例題當(dāng)中,我們發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)首先還是要有函數(shù)的功底,要有一定的建模能力,這個與分不分段其實(shí)無關(guān).我們重點(diǎn)看看分段函數(shù)要注意的地方.第一,要明確函數(shù)的定義域和其相對的函數(shù)表達(dá)式;第二注意求的是整個一大段的定義域內(nèi)的值域還是分段函數(shù)某段內(nèi)部的值;第三,注意累加的情況和僅僅某段函數(shù)的討論.【考查預(yù)測】 修煉自己的內(nèi)功,其實(shí)分不分段影響不大,審清題就可以了,另外,最好畫個圖來解答.35.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【知識點(diǎn)的知識】導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系:(1)若f′(x)>0在(a,b)上恒成立,則f(x)在(a,b)上是增函數(shù),f′(x)>0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間;(2)若f′(x)<0在(a,b)上恒成立,則f(x)在(a,b)上是減函數(shù),f′(x)<0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間.利用導(dǎo)數(shù)求解多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟:(1)確定f(x)的定義域;(2)計(jì)算導(dǎo)數(shù)f′(x);(3)求出f′(x)=0的根;(4)用f′(x)=0的根將f(x)的定義域分成若干個區(qū)間,列表考察這若干個區(qū)間內(nèi)f′(x)的符號,進(jìn)而確定f(x)的單調(diào)區(qū)間:f′(x)>0,則f(x)在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù),對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間;f′(x)<0,則f(x)在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù),對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間.【典型例題分析】題型一:導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系典例1:已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(﹣1)=2,對任意x∈R,f′(x)>2,則f(x)>2x+4的解集為( ?。〢.(﹣1,1)B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1)D.(﹣∞,+∞)解:f(x)>2x+4,即f(x)﹣2x﹣4>0,設(shè)g(x)=f(x)﹣2x﹣4,則g′(x)=f′(x)﹣2,∵對任意x∈R,f′(x)>2,∴對任意x∈R,g′(x)>0,即函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,∵f(﹣1)=2,∴g(﹣1)=f(﹣1)+2﹣4=4﹣4=0,則由g(x)>g(﹣1)=0得x>﹣1,即f(x)>2x+4的解集為(﹣1,+∞),故選:B題型二:導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用典例2:已知函數(shù)f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R).(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的傾斜角為45176。=2x+2,當(dāng)x=1時(shí),y39。對于任意的t∈[1,2],函數(shù)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù),求m的取值范圍;(Ⅲ)求證:.解:(Ⅰ)(2分)當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1],減區(qū)間為[1,+∞);當(dāng)a<0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[1,+∞),減區(qū)間為(0,1];當(dāng)a=0時(shí),f(x)不是單調(diào)函數(shù)(4分)(Ⅱ)得a=﹣2,f(x)=﹣2lnx+2x﹣3∴,∴g39。2021年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之專題突破訓(xùn)練《專題二:函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)》考點(diǎn)卡片1.判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】函數(shù)的構(gòu)成要素:定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.所以判斷兩個函數(shù)是不是同一函數(shù),就看定義域和對應(yīng)法則是否一樣.【解題方法點(diǎn)撥】判斷函數(shù)是否是同一個函數(shù),一般是同解變形化簡函數(shù)的表達(dá)式,考察兩個函數(shù)的定義域是否相同,對應(yīng)法則是否相同.【命題方向】高考中以小題出現(xiàn),選擇題與填空題的形式,由于函數(shù)涉及知識面廣,所以函數(shù)是否為相同函數(shù)命題比較少.2.函數(shù)的定義域及其求法【知識點(diǎn)的認(rèn)識】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍. 求解函數(shù)定義域的常規(guī)方法:①分母不等于零;②根式(開偶次方)被開方式≥0;③對數(shù)的真數(shù)大于零,以及對數(shù)底數(shù)大于零且不等于1;④指數(shù)為零時(shí),底數(shù)不為零.⑤實(shí)際問題中函數(shù)的定義域;【解題方法點(diǎn)撥】 求函數(shù)定義域,一般歸結(jié)為解不等式組或混合組.(1)當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí),其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合.(2)當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問題給出時(shí),其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義,還要有實(shí)際意義(如長度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等).(3)若一函數(shù)解析式是由幾個函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的,則函數(shù)定義域應(yīng)是同時(shí)使這幾個函數(shù)有意義的不等式組的解集.若函數(shù)定義域?yàn)榭占?,則函數(shù)不存在.(4)抽象函數(shù)的定義域:①對在同一對應(yīng)法則f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要滿足的范圍是一樣的;②函數(shù)g(x)中的自變量是x,所以求g(x)的定義域應(yīng)求g(x)中的x的范圍.【命題方向】高考會考中多以小題形式出現(xiàn),也可以是大題中的一小題.3.函數(shù)的值域【知識點(diǎn)的認(rèn)識】函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.A是函數(shù)的定義域.【解題方法點(diǎn)撥】(1)求函數(shù)的值域此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法:配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等.無論用什么方法求函數(shù)的值域,都必須考慮函數(shù)的定義域.(2)函數(shù)的綜合性題目此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識相結(jié)合的題目.此類問題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強(qiáng)的運(yùn)算能力.在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點(diǎn)和重點(diǎn),并可以逐漸加強(qiáng).(3)運(yùn)用函數(shù)的值域解決實(shí)際問題此類問題關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,從而利用所學(xué)知識去解決.此類題要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和數(shù)學(xué)建模能力.【命題方向】函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一,有時(shí)在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的壓軸題中出現(xiàn),是??碱}型.4.函數(shù)解析式的求解及常用方法【知識點(diǎn)的認(rèn)識】通過求解函數(shù)的解析式中字母的值,得到函數(shù)的解析式的過程就是函數(shù)的解析式的求解.求解函數(shù)解析式的幾種常用方法主要有 換元法;待定系數(shù)法;湊配法;消元法;賦值法等等.【解題方法點(diǎn)撥】常常利用函數(shù)的基本性質(zhì),函數(shù)的圖象特征,例如二次函數(shù)的對稱軸,函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等;利用函數(shù)的解析式的求解方法求解函數(shù)的解析式,有時(shí)利用待定系數(shù)法.例1:已知曲線y=x2+2x在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為l.求l的方程. 解:∵y=x2+2x,∴y39。(x)=3x2+(m+4)x﹣2(6分)∵g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù),且g′(0)=﹣2∴由題意知:對于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立,所以有:,∴(10分)(Ⅲ)令a=﹣1此時(shí)f(x)=﹣lnx+x﹣3,所以f(1)=﹣2,由(Ⅰ)知f(x)=﹣lnx+x﹣3在(1,+∞)上單調(diào)遞增,∴當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)f(x)>f(1),即﹣lnx+x﹣1>0,∴l(xiāng)nx<x﹣1對一切x∈(1,+∞)成立,(12分)∵n≥2,n∈N*,則有0<lnn<n﹣1,∴∴【解題方法點(diǎn)撥】若在某區(qū)間上有有限個點(diǎn)使f′(x)=0,在其余的點(diǎn)恒有f′(x)>0,則f(x)仍為增函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似).即在區(qū)間內(nèi)f′(x)>0是f(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件,而不是必要條件.
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