20xx屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)預(yù)測卷(三)(解析版)(更新版)
【正文】 法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大??；方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.21．已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，.（1）求雙曲線的方程.（2）設(shè)為雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)，在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限，若恰為線段的中點(diǎn)，試判斷的面積是否為定值?若為定值，請求出這個(gè)定值；若不為定值，請說明理由.【答案】（1）；（2）是定值，2.【分析】（1）由可得，求出即可得出方程；（2）設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，可得，設(shè)，利用漸近線方程的斜率得角的正切值，再利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式及二倍角公式得，由，的坐標(biāo)得，結(jié)合及三角形面積公式即可求出.【詳解】（1）由題意，易得，則由，可得，即.又，解得（負(fù)值舍去），解得，雙曲線的方程為.（2）由（1）可知雙曲線Ｃ的漸近線方程為，設(shè)，其中，.為線段的中點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得，解得.設(shè)，則.又，.又，的面積為定值2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查雙曲線中三角形面積的定值問題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，設(shè)，得出和.22．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1），分，兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),利用判別式結(jié)合函數(shù)的定義域，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷；（2）將證明，轉(zhuǎn)化為證然后令， ，用導(dǎo)數(shù)法證明.【詳解】（1），若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減.若，則二次函數(shù)的判別式，當(dāng)，即或時(shí)，若，則，等號不恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；若，則，等號不恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即且時(shí)，令，即，此時(shí)，若，則，此時(shí)恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減；若，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）要證，即證.記，則，令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以.令，則，所以在上遞減，則，即恒成立，所以恒成立，故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值等問題，最終歸結(jié)到判斷f′(x)的符號問題上，而f′(x)＞0或f′(x)＜0，最終可轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元一次或一元二次不等式問題．若含參數(shù)，則含參數(shù)的二次不等式的解法常常涉及到參數(shù)的討論問題，只要把握好下面的四個(gè)“討論點(diǎn)”，一切便迎刃而解．分類標(biāo)準(zhǔn)一：二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，目的是討論不等式是否為二次不等式；分類標(biāo)準(zhǔn)二：二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，目的是討論二次函數(shù)圖象的開口方向；分類標(biāo)準(zhǔn)三：判別式的正負(fù)，目的是討論二次方程是否有解；分類標(biāo)準(zhǔn)四：兩根差的正負(fù)，目的是比較根的大小．第 22 頁 共 22 頁
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