20xx屆北京市八一學校高三期末模擬考試數(shù)學試題(解析版)(更新版)
【正文】 確定的值。 （ⅱ）設，利用方程組結合韋達定理求出弦長，選將的面積表示成關于的表達式，然后，令，利用一元二次方程根的判別式確定的范圍，從而求出的面積的最大值，并結合（i）的結果求出面積的最大值.試題解析：（Ⅰ）由題意知，則,又可得,所以橢圓C的標準方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓E的方程為,（i）設，由題意知因為,又，即,所以，即.（ⅱ）設將代入橢圓E的方程，可得由，可得①則有所以因為直線與軸交點的坐標為所以的面積令,將代入橢圓C的方程可得由，可得②由①②可知因此,故當且僅當，即時取得最大值由（i）知，面積為,所以面積的最大值為.【解析】橢圓的標準方程與幾何性質；直線與橢圓位置關系綜合問題；函數(shù)的最值問題.20．已知函數(shù).（1）設是的極值點，求，并求的單調區(qū)間；（2）證明：當時，；（3）請寫出函數(shù)的零點個數(shù)（結論不需證明）.【答案】（1），函數(shù)單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）證明見解析；（3）答案見解析.【分析】（1）求出，由可求得的值，分析導數(shù)的符號變化，由此可出函數(shù)的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）證明出，由此可證得結論成立；（3）令可得出，分析函數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與極值，數(shù)形結合可得出結論.【詳解】（1），由已知條件可得，解得，所以，則，所以，函數(shù)在上單調遞增，當時，；當時，.此時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）構造函數(shù)，其中，則.當時，此時函數(shù)單調遞減；當時，此時函數(shù)單調遞增.所以，即；構造函數(shù)，其中，則.當時，此時函數(shù)單調遞減；當時，此時函數(shù)單調遞增.所以，即，因此，當時，則；（3）當或時，函數(shù)只有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點；當時，函數(shù)無零點.理由如下：令，可得，令，其中，則函數(shù)的零點個數(shù)等于直線與函數(shù)圖象的交 點個數(shù).，令，則，所以，函數(shù)在上單調遞減，且，列表如下：單調遞增極大值單調遞減當時，作出函數(shù)與直線的圖象如下圖所示：由圖可知，當或時，函數(shù)只有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點；當時，函數(shù)無零點.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數(shù)法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結構構造輔助函數(shù).21．設為給定的不小于的正整數(shù)，考察個不同的正整數(shù)，構成的集合，若集合的任何兩個不同的非空子集所含元素的總和均不相等，則稱集合為“差異集合”．（1）分別判斷集合，集合是否是“差異集合”；（只需寫出結論）（2）設集合是“差異集合”，記，求證：數(shù)列的前項和；（3）設集合是“差異集合”，求的最大值．【答案】（1）集合不是，集合是；（2）見解析；（3）最大值為【分析】（1）利用定義直接判斷（2）利用定義得，則 即可證明（3）不妨設，變形結合， 即可證明【詳解】（1）集合不是，因為，即子集與子集元素之和相等；集合是，因為集合的任何兩個不同的非空子集所含元素的總和均不相等.（2）由集合是“差異集合”知：的個非空子集元素和為互不相等的個正整數(shù)，于是，所以（3）不妨設，考慮而，所以當時，；綜上，的最大值為.【點睛】本題考查集合新定義問題，考查變形推理能力，準確理解題意進行轉化是關鍵，是難題23
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