20xx屆北京市八一學(xué)校高三期末模擬考試數(shù)學(xué)試題(解析版)(更新版)
【正文】 確定的值。 （ⅱ）設(shè)，利用方程組結(jié)合韋達(dá)定理求出弦長，選將的面積表示成關(guān)于的表達(dá)式，然后，令，利用一元二次方程根的判別式確定的范圍，從而求出的面積的最大值，并結(jié)合（i）的結(jié)果求出面積的最大值.試題解析：（Ⅰ）由題意知，則,又可得,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓E的方程為,（i）設(shè)，由題意知因為,又，即,所以，即.（ⅱ）設(shè)將代入橢圓E的方程，可得由，可得①則有所以因為直線與軸交點的坐標(biāo)為所以的面積令,將代入橢圓C的方程可得由，可得②由①②可知因此,故當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最大值由（i）知，面積為,所以面積的最大值為.【解析】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；直線與橢圓位置關(guān)系綜合問題；函數(shù)的最值問題.20．已知函數(shù).（1）設(shè)是的極值點，求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時，；（3）請寫出函數(shù)的零點個數(shù)（結(jié)論不需證明）.【答案】（1），函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見解析；（3）答案見解析.【分析】（1）求出，由可求得的值，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，由此可出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）證明出，由此可證得結(jié)論成立；（3）令可得出，分析函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)論.【詳解】（1），由已知條件可得，解得，所以，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，.此時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，即；構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，即，因此，當(dāng)時，則；（3）當(dāng)或時，函數(shù)只有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點；當(dāng)時，函數(shù)無零點.理由如下：令，可得，令，其中，則函數(shù)的零點個數(shù)等于直線與函數(shù)圖象的交 點個數(shù).，令，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，列表如下：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減當(dāng)時，作出函數(shù)與直線的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)或時，函數(shù)只有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點；當(dāng)時，函數(shù)無零點.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).21．設(shè)為給定的不小于的正整數(shù)，考察個不同的正整數(shù)，構(gòu)成的集合，若集合的任何兩個不同的非空子集所含元素的總和均不相等，則稱集合為“差異集合”．（1）分別判斷集合，集合是否是“差異集合”；（只需寫出結(jié)論）（2）設(shè)集合是“差異集合”，記，求證：數(shù)列的前項和；（3）設(shè)集合是“差異集合”，求的最大值．【答案】（1）集合不是，集合是；（2）見解析；（3）最大值為【分析】（1）利用定義直接判斷（2）利用定義得，則 即可證明（3）不妨設(shè)，變形結(jié)合， 即可證明【詳解】（1）集合不是，因為，即子集與子集元素之和相等；集合是，因為集合的任何兩個不同的非空子集所含元素的總和均不相等.（2）由集合是“差異集合”知：的個非空子集元素和為互不相等的個正整數(shù)，于是，所以（3）不妨設(shè)，考慮而，所以當(dāng)時，；綜上，的最大值為.【點睛】本題考查集合新定義問題，考查變形推理能力，準(zhǔn)確理解題意進(jìn)行轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，是難題23
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