20xx屆廣東省佛山市第一中學(xué)高三上學(xué)期九月月考數(shù)學(xué)試題(解析版)(更新版)
【正文】 得到解析式；（2）原式等價于，令，對函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，進而得到最值.【詳解】（1），解得，解得，所以.（2）當時，即.令，則 .令，當時，單調(diào)遞增，則當時，即，所以單調(diào)遞減；當時，即，所以單調(diào)遞增，綜上，所以.【點睛】對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個函數(shù)，使得一個函數(shù)恒大于或小于另一個函數(shù)．21．，從2012年到2017年，中國的人口自然增長率變化始終不大，在5‰上下波動（如圖）為了了解年齡介于24歲至50歲之間的適孕夫妻對生育二孩的態(tài)度如何，統(tǒng)計部門按年齡分為9組，每組選取150對夫妻進行調(diào)查統(tǒng)計有生育二孩意愿的夫妻數(shù)，得到如表：年齡區(qū)間有意愿數(shù)808187868483837066（1）從這五個年齡段中各選出一對夫妻（能代表該年齡段超過半數(shù)夫妻的意愿）進一步調(diào)研，.（2）設(shè)每個年齡區(qū)間的中間值為x，有意愿數(shù)為y，求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸直線方程，并求該模型的相關(guān)系數(shù)r（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.（參考：，，.）【答案】（1）；（2），.【分析】（1）記5對夫妻中，愿意生二孩的為A，B，C，不愿意生二孩的為1，2，列舉出所有可能組合，并確定恰有一對不愿意生二孩的夫妻組合，即可求概率.（2）由已知參考信息，結(jié)合表格數(shù)據(jù)求，進而求，寫出回歸方程，再求，結(jié)合公式計算相關(guān)系數(shù)r.【詳解】（1）由題意，在這三個年齡段中，超過半數(shù)的夫妻有生育二孩的意愿，在，這兩個年齡段中，超過半數(shù)的夫妻沒有生育二孩的意愿，∴若記5對夫妻中，愿意生二孩的為A，B，C，不愿意生二孩的為1，2. 從5對中選出兩隊則所有可能的基本事件為：共10種，其中恰有一對不愿意生二孩的夫妻有：共6種.∴恰有一對不愿意生育二孩的夫妻的概率. （2）由題意， ∴，又，∴，.∴， 故線性回歸方程為， 相關(guān)系數(shù).【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）利用列舉法求古典概型的概率.（2）根據(jù)參考公式，應(yīng)用最小二乘法求回歸方程系數(shù)，寫出回歸方程，并求相關(guān)系數(shù)值.22．已知函數(shù)，其中a為正實數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個極值點，求證：.【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析；【分析】（1）根據(jù)函數(shù)，求導(dǎo)得到，然后根據(jù)，分討論求解.（2）由（1）得到若函數(shù)有兩個極值點，則，且，代入，得到，要證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法結(jié)合零點存在定理證明即可.【詳解】（1）因為函數(shù)，所以，函數(shù)的定義域為，令，①若，即時，則，此時的單調(diào)減區(qū)間為；②若，即時，令，得，當或時，當時，此時的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（2）由（1）知，當時，函數(shù)有兩個極值點，且，.因為，，要證，只需證.構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，又，且在定義域上不間斷，由零點存在定理，可知在上唯一實根，且.則在上遞減，上遞增，所以的最小值為因為，當時，則，所以恒成立.所以，所以，得證.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)與不等式證明問題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸，分類討論的思想和運算求解的能力，屬于難題.第 23 頁 共 23 頁
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