【正文】 定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號(hào)同方向）③ 在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。本題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件裂項(xiàng)求和。N* 證明：（1）對(duì)于n206。n例2（04全國三）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=2an+(1)，n179。1an1+1n\1an11an1(n179。第一篇：放縮法證明“數(shù)列+不等式”問題的兩條途徑放縮法證明“數(shù)列+不等式”問題的兩條途徑數(shù)列與不等式的綜合問題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年命題的熱點(diǎn)，解決這類問題常常用到放縮法。2)an1an2179。1（1）寫出數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1，a2，a3；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)任意的整數(shù)m4，有1a4+1a5+L+1am78分析：⑴由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：an=SnSn1=2an+(1)n2an1(1)n1（n1）化簡(jiǎn)得：an=2an1+2(1)n1 an(1)n=2an1(1)n12,an(1)n+3=2[an1(1)n1+]故數(shù)列{an(1)2n+}是以a1+為首項(xiàng), an(1)n+12n2n1n=()(2)∴an=[2(1)]33323[2n2∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an=(1)].n⑶觀察要證的不等式，左邊很復(fù)雜，先要設(shè)法對(duì)左邊的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，使之能夠求和。N*恒有an+1an成立。第二篇：放縮法證明數(shù)列不等式放縮法證明數(shù)列不等式基礎(chǔ)知識(shí)回顧:放縮的技巧與方法：（1）常見的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：① 等差數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個(gè)方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)，其余項(xiàng)放縮。公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。.對(duì)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）對(duì)任意正整數(shù)，若，求證：；錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。.其中錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。注：對(duì)于錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。；（3）問是否存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；⑵ 設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。、錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。．記等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；②在錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個(gè)方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。即通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。故錯(cuò)誤！未找到引用源。的子集錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）設(shè)，求證：.【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。是數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；②是否存在這樣的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。為公比的等比數(shù)列，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。（4）錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。即只要滿足 ①：錯(cuò)誤！未找到引用源。令錯(cuò)誤！未找到引用源。．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，只要使錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍是錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。使得對(duì)于任意錯(cuò)誤！未找到引用源。．【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。且滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。將上述不等式相加得： 錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。；證明第三問時(shí)，充分借助（2）的結(jié)論可知錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值為錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。則錯(cuò)誤！未找到引用源。是公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。是公比大于錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。綜上，錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值．【答案】（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，故有錯(cuò)誤！未找到引用源。1246。1246。2)Sn=+++L+1n1n(1336++++52)+（15=1653++L+1n11n)＝1+13361214001++1121400=1+23893600(11+24003600.放縮二：1n1n1=(n+1)(n1)=2n1n+1),(n179。2235。aii=1n2法1：均值不等式：即證++715n2+...+212n+1n1+n2也即：++715+...+212nn+1n1而:++715+...+212n+11179。（2）由an+1=anan+1得：an+11=an(an1)\an1=an1(an11)……a21=a1(a11)以上各式兩邊分別相乘得：an+11=anan1La2a1(a11)，又a1=2\an+1=anan1La2a1+1（3）要證不等式120061a1+1a2+L+1a20061，可先設(shè)法求和：1a1+1a2+L+a2006，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。i=1ai(ai1)3121n3.（即轉(zhuǎn)化為證明加強(qiáng)命題）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)x，數(shù)列{an}滿足：a1=2,ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)．（1）求證：ln(1+x)163。x，當(dāng)x=0時(shí)取到等號(hào)．（2）法1：數(shù)學(xué)歸納法（先猜想，再證明）法2：由ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)得2an+1=an+1an+1，an+1=12an，an+11=12an1=an12an，1an+11=1an11，即數(shù)列237。230。n+2230。230。n+2=nl=n+247。ln2n) (nl+∴a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2) ． 法2：積分法要證原命題，即證：231。1++L+231。247。an252。由于放縮法靈活多變，技巧性要求較高，所謂“放大一點(diǎn)點(diǎn)太大，縮小一點(diǎn)點(diǎn)太小”。1）(n206。N*)2222：1+12+1+11223+1+......+2n+11(n206。1,n206。N*)：1+2+2+......+22(n206。N*)1+12+115232+......+n24(n206。n+2（2）證明：1a1+1a+.......+111+2+1an+12：12+1+23n22+2+23+3+.......+2n+n2(n206。237。2+2一．放縮法證明不等式的理論依據(jù)： １．不等式的傳遞性：２．同向不等式的可加性：３．同向的正數(shù)不等式的可乘性：二．常見的數(shù)列求和的方法及公式特點(diǎn)： １．等差數(shù)列的和。是公差為1的等差數(shù)列，且an+1=nn238。+2n+1(n2,n206。3n+1248。1232。2=n231。231。1+=ln 247。++L+247。252。(x)=11+x1=x1+x，當(dāng)1x0時(shí)，f39。5．已知數(shù)列{an}中an=iinnn21，求證：229。N*證明：（1）對(duì)于n206。1n+k163。1)Sn=++L+1n1+2（13++L+12n112n+1)=1+2（1312n+1)法2：數(shù)歸——加強(qiáng)命題：常用的放縮公式：1n(n+1)2n+n+11n+L+1n1n1n(n1)1n；n+n12nn+n+1；=nn+2n1；aba+mb+m(ba0,m0)1kk(k+1)(k1)1n+11k(k1)=249。231。231。第三篇：放縮法證明數(shù)列不等式放縮法證明不等式設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn=43an13180。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，記公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合為錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。所以當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值為錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）由（2）可知錯(cuò)誤！未找到引用源。而言，存在錯(cuò)誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。為常數(shù)．（1）是否存在數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。為