【正文】 C DV V V? ? ??? .∴ 1 si n6A BCD abh ?? ??. 分割圖形 巧補圖形可使某些立幾問題迅速準確獲解 ,同樣適當?shù)胤指顖D形 ,也可使某些立幾問題趨于簡單 ,從而為問題的順利解決提供了方便 . 例 6： 已知正三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的底面邊長為 6，側棱長為 33 ,求三棱錐 11B CAC? 的體積 . （如 圖 551）： 3 21321隱藏 2隱藏 1 合攏 3移動 3合攏 2移動 2 合攏 1 移動 1A 1C 1B 1BCC 1A 1BCA 1ABCAC 1B 1A 1B 隱藏 2隱藏 1 合攏 3移動 3合攏 2移動 2 合攏 1 移動 1 圖 551 利用三棱柱分割求三棱錐的體積 分析： 面 11BAC 、面 BCA 1 將這個三棱柱分割為三個三棱錐 . 易證 1 1 1 1 1 1B A B C B C A C B A C AV V V? ? ??? ∴ 1121 1 1 1 3= 6 3 3 2 73 3 3 2 2B C A C A B CV V S h? ? ? ? ? ? ? ? ?正 三 棱 柱. 幾何畫板在數(shù)學課程幾何教學設計 中的應用 第 16 頁 共 21 頁 第六章《幾何畫板》在解析幾何中探究軌跡問題 問題是數(shù)學的心臟，思維從問題開始 .我們先看一個具體的例子： 如圖 611 ，過橢圓 12222 ??byax( 0??ba )的左焦點 F1 作弦 AB .現(xiàn)在來研究焦點弦 AB 有關的問題 . 弦上特定點的問題 軌跡 1 過原點 O 作弦 AB 的垂線，垂足為 M ，求點 M 的軌跡方程 . 幾何畫板演示：拖動主動點 A 在橢圓上轉動或制作點 A 在橢圓上運動的動畫按鈕，跟蹤點 M ，得到點 M 的軌跡是一 個小圓（如圖 612） .怎樣求出這個小圓的方程？按一般思路，假設弦 圖 611 圖 611 弦 AB 垂點軌跡 AB 所在直線的斜率為 k ，則 AB 的垂線的斜率為 1k? ，列出這兩條直線的方程，聯(lián)立這兩個方程解出交點 (即垂足 )M 的坐標，最后消去參數(shù) k 就得到點 M 的軌跡方程 . 經(jīng)過觀察這個軌跡是一個圓，而且是以 1OF 為直徑的圓，是不是有什么簡單的方法做出來 .一般的解題思路很容易想出來，但運算也很復雜 .有一個很好也很簡單的方法： 因為 OM AB? ，所以 2 2 21O M F M O F??，若設點 M 的坐標為 (, )xy ，點 1F 的坐標為(,0)c ，則 2 2 2 2 2()x y x c y c? ? ? ? ?，即 222 )2()2( cycx ??? . 這就是所求的軌跡方程 . 都容易被橢圓這個外表給迷惑住 .其實這個問題只與原點和點 1F 的坐標有關，而與橢圓的弦無任何聯(lián)系 .就是‘給定兩點 O 與 1F ，過這兩點作兩條互相垂直的直線，求交點的軌跡方程 .’這當然很容易解得 .在探求點的軌跡時，一定要注意設法找出動點所滿足的幾何條件，尋找動點與不動點之間的幾何關系 .平面幾何的有關結論對求點的軌跡很有用處 .下面將問題改變一下： 軌跡 2 如圖 613，求弦 AB 中點 P 的軌跡方程 .” 猜猜看，點 P 的軌跡是什么？ 利用幾何畫板演示出來：拖動主動點 A ，得到點 P 的軌跡是一個小橢圓，并且這個小橢 圓的 第 17 頁 共 21 頁 長軸是線段 1OF 即半焦距 2c .如 圖 614. 是橢圓，怎樣求這個小橢圓的方程？ 圖 613 圖 614 弦 AB 中點軌跡 根據(jù)求軌跡方程的一般步驟，求哪一點的軌跡方程 ，就應該假設該點的坐標為 (, )xy ，因此先設 P 點坐標為 (, )xy .要建立點 P 的坐標 (x， y) 滿足的方程，觀察圖形，這里有四個 點1 1 2 2 1( , ) ( , )A x y B x y P F、 、 、其中點 1F 是定點， A B P、 、 都是動點，但點 A 是主動點，引起點 P 運動的原因是由于點 A 在橢圓上運動 .因 此要找到點 P 與 A B F、 、 這三個點的坐標之間的關系 .這是解決問題的關鍵 . 點 P 與 AB、 兩點的坐標的關系，根據(jù)中點坐標公式得到 2 21 xxx ?? ， 2 21 yyy ?? .” 如何將 1A B P F、 、 、 這四點的坐標聯(lián)系起來？ 利用直線的斜率 .直 線 AB 的斜率表示：有21 21 xxyyk ??? ，還有 .如 cxyk ?? 何得到 21 21 xx yy?? ？?? AB、 兩點在哪？滿足什么方程？ 在橢圓上 .滿足 22212212 bayaxb ?? ， 22222222 bayaxb ?? .” 快得到下列解法 (經(jīng)過整理 )： 設 1 1 2 2( , ) , ( , ) , ( , )A x y B x y P x y， 22 bac ?? ，則 2 21 xxx ?? ， 2 21 yyy ?? ， 因為點 AB、 都 在橢圓上，則 22212212 bayaxb ?? ， 22222222 bayaxb ?? ， 式相減得 221 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0b x x x x a y y y y? ? ? ? ? ?， 于是有 cx ykya xbyy xxabxx yy ???????????? 2221 212221 21， 化簡得 1)2()2()2(2222???abcyc cx ， 此即為所求的軌跡方程 . 這是解析幾何中常用的一種求軌跡方法 —— 設而不求 .尋找動點之間的關系是求軌跡問題的幾何畫板在數(shù)學課程幾何教學設計 中的應用 第 18 頁 共 21 頁 關鍵 .還有其它解法沒有？ 經(jīng)過觀察，因為直線 AB 經(jīng)過點 1F ，可以設直線 AB 的方程為()y k x c??，與橢圓方程聯(lián)立 解方 程組得出 AB、 兩點的坐標??不必解出 AB、 的坐標，將直線 AB 的方程為 ()y k x c??代入橢圓方程得到的一元二次方程的兩根就是點 AB、 的橫坐 標1x，2，正好可以利用韋達定理得到 2 21 xxx ?? ， 2 21 yyy ?? ，將點 AB、 的橫坐標都表示為直線 AB 的斜率 k 的函數(shù)，消去參數(shù) k 就行了 . 軌跡 3 如果將弦 AB 的兩端 AB、 分別與橢圓長軸兩個端點12,AA連起來，則這兩條直線 2AA與1AB的交點 C 好象在橢圓的準線上（ 圖 615） . 采取常規(guī)方法“交軌法”求解 ： 設直線 2AA、 1AB的方程分別為 1()y k x a??， 2()y k x a??， 將 2AA的方程代入橢圓方程整理得 02)( 2221421322212 ????? bakaxkaxbka , 圖 615 此方程的兩根是 A 、 2A 的橫坐標 x 與 a ，故可求得 11( , )Ax y 點坐標為)2,( 2212 122212 2213 bka kabbka abkaA ???? , 同理可求得 22( , )Bx y 點坐標為 )2,(2222 2222222223bka kabbka abkaB ???. 由 A、 F B 三點共線可得11 BFAF kk ?，即 cxycxy ??? 2 21 1， 將 A 、 B 兩點坐標代入并整理得 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2( + ) ( ) ( ) ( ) 0a a c k k a c a k k b a c k b c a k? ? ? ? ? ? ? ， 將 axyk ??1 ， axyk ??2 代入上式得 第 19 頁 共 21 頁 0))()(()())(()()( 2222222 ???????????? axaxacbaxaxcabyacaycaa ， 分解因式得 0]) ] [)(())([( 222222 ???????? baxbyaaxacaxca ， 因為直線2AA、1BA的交點在橢圓外，所以 0222222 ??? bayaxb ， 故 ( ) ( ) ( ) ( ) 0c x a c a x a? ? ? ? ? ?， 即 cax 2?? . 即為直線2AA、1BA的交點的軌跡方程，而這就是橢圓的準線方程 . 同樣的道理，直線 2AB與 1AA 的交點 D 也在準線上 .不管 C 、 D 兩點在左準線上怎樣運動，1CFD? 是一個定值 ?90 . 如圖 616 所示 . ”又一個學生發(fā)現(xiàn)了一個結論 . 同學們利 用上個問題的解決方法，很快證明了出來 . 圖 616 課后探索：利用幾何畫板，還能探索出什么結論嗎？如果是圓、橢圓等常見軌跡 . 下面是經(jīng)過探究得到的幾條奇形怪狀的曲線： 橢圓弦心三角形三心及垂 足點的軌跡 弦心三角形就是過的橢圓左焦點的弦 AB 與原點 O 所構成三角形ABO?內心、垂心、外心的軌跡 . 軌跡 4 “ABO?的內心的軌跡是一條‘雞蛋形’曲線 (如 圖 621 所示 ).” 軌跡 5 “ 的垂心的軌跡是一條‘ ? ’形狀的曲線 (如 圖 622 所示 ).” 圖 621 弦心三角形 內心軌跡 圖 622 弦心三角形 垂心軌跡 幾何畫板在數(shù)學課程幾何教學設計 中的應用 第 20 頁 共 21 頁 軌跡 6“ABO?的外心的軌跡是一條‘反 ? ’形狀的曲線 (如 圖 623 所示 ).” 軌跡 7“ 中，過點 A 作 OB 的垂線，垂足的軌跡是‘兩葉花卉形’ (如 圖 624 所示 ).” 圖 623 弦心三角形 外心軌跡 圖 624 弦心三角形 垂足軌跡 橢圓弦焦三角形三心 及垂足點的軌跡 弦焦三角形就是過的橢圓左焦點的弦 AB 與右焦點2F所構成三角形2ABF?內心、垂心、外心的軌跡 . 軌跡 8 如 圖 631 作2ABF?的重心 G ，其軌跡也是一個橢圓 圖 631 弦焦三角形重心軌跡 以下是解答：設 1 1 2 2( , ) , ( , ) , ( , )A x y B x y G x y，則由 2(, )Fco 與 ( , )Gxy 可得 AB 中點 M 的坐標為)23,23( ycx? ， 因為 ya xbyy xxabxx yy 2221 212221 21 ?????????， 所以 ccxyyaxb???? )3(212322 ， 第 21 頁 共 21 頁 整理得 3 222222 cbyaxb ?? ，即 222 2 22139xyc b ca?? . 軌跡 9 “2ABF?的垂心的軌跡是一條 ? 形狀的曲線 (如 圖 632 所示 ).” 軌跡 10 “2的外心的軌跡是一條‘反 ? ’形狀的曲線 (如 圖 633 所示 ).” 軌跡 11“2ABF?中，過點 A 作 2BF 的垂線，垂足的軌跡是兩葉花卉形 (如 圖 634 所示 ).” 圖 632 弦焦三角形 垂心軌跡 圖 633 弦焦三角形 外心軌跡 圖 634 弦焦三角形垂足 軌跡 橢圓過兩焦點三角形四心點的軌跡