【正文】 1 (2021天津南開區(qū) 二模 )點(diǎn) P 為 ⊙ O內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 的最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為 10cm，最短的弦長(zhǎng)為 8cm，那么 OP的長(zhǎng)等于 3 cm． 【考點(diǎn)】 垂徑定理；勾股定理． 【分析】 根據(jù)直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，知該圓的直徑是 10cm；最短弦即是過(guò)點(diǎn) P 且垂直于過(guò)點(diǎn) P 的直徑的弦；根據(jù)垂徑 定理即可求得 CP 的長(zhǎng)，再進(jìn)一步根據(jù)勾股定理，可以求得 OP的長(zhǎng)． 【解答】 解：如圖所示， CD⊥ AB 于點(diǎn) P． 根據(jù)題意，得 AB=10cm， CD=8cm． ∵ CD⊥ AB ， ∴ CP=CD=4cm ． 根據(jù)勾股定理，得 OP= = =3（ cm）． 故答案為： 3． 【點(diǎn)評(píng)】 此題綜合運(yùn)用了垂徑定理和勾股定理．正確理解圓中，過(guò)一點(diǎn)的最長(zhǎng)的弦和最短的弦． （ 2021 ；（圓周角定理） 在 Rt△ AHD 中， ∠DAH=30176。 新疆烏魯木齊九十八中 =60176。 ， ∵ AD∥OC ， ∴ ∠ BAD=∠ AOC=50176。 B． 30176。由于⊙ O的直徑 AB垂直于弦 CD，根據(jù)垂徑定理得 CE=DE，且可判斷△ OCE為等腰直角三角形，所以 CE= OC=2 ，然后利用 CD=2CE進(jìn)行計(jì)算． 【解答】 解：∵∠ A=176。一模）一個(gè)圓形人工湖如圖所示，弦 AB 是湖上的一座橋，已知橋AB長(zhǎng) 100m，測(cè)得圓周角∠ ACB=45176。 ， ∴ ∠ AOC=2∠ D=70176。 B． 55176。 ． （ D） 100176。= ， 故 ③ 正確； ∵ ∠ AOB=60176。山東棗莊模擬 )如圖，在半徑為 6cm的 ⊙ O中，點(diǎn) A是劣弧 的中點(diǎn)，點(diǎn) D是優(yōu)弧 上一點(diǎn)，且 ∠ D=30176。 ， ∴ AB=OB ， ∵ 點(diǎn) A是劣弧 的中點(diǎn)， ∴ AC=AB ， ∴ AB=BO=OC=CA ， ∴ 四邊形 ABOC是菱形， 故 ④ 正確． 故選： B． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了垂徑定理、菱形 的判定、圓周角定理、解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，是一道好題． (2021 ． ODCBA 答案： D （ 2021 C． 65176。 ， ∴ ∠ OAC= （ 180176。則這個(gè)人工湖的直徑 AD為（ ） A． B． C． D． 【分析】 連接 OB．根據(jù)圓周角定理求得∠ AOB=90176。 ∴∠ BOC=2∠ A=45176。 C． 40176。 ， 故選 D． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是圓周角定理，以及平行線的性 質(zhì)，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等是解答此題的關(guān)鍵． 1 （ 2021 ，故 x的取值范圍是 30≤x≤60 ． 【解答】 解：開始移動(dòng)時(shí)， x=30176。一模 )如圖，已知 ⊙ O的直徑 AB為 10，弦 CD=8， CD⊥ AB于點(diǎn) E，則 sin∠ OCE 的值為（ ） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】 垂徑定理；解直角三角形． 【分析】 由 AB 是 ⊙O 的直徑，弦 CD⊥ AB ，根據(jù)垂徑定理，可求得 CE 的長(zhǎng)，然后由勾股定理即可求得 OE，繼而求得 sin∠ OCE 的值． 【解答】 解： ∵ AB 是 ⊙ O的直徑，弦 CD⊥ AB ， ∴ CE= CD= 8=4 ， OC= AB= 10=5 ， ∴ OE= =3， ∴ sin∠ OCE= = ． 故選 B． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了垂徑定理、勾股定理以及三角函數(shù)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 二、填空題 (2021 ， AD=4 ，則 DH=CH=2 ； 在 Rt△ OCH 中， ∠COH=60176。吉林東北師范大學(xué)附屬中學(xué)二模） 如圖，已知 AB是 ⊙ O的直徑，弦 CD⊥ AB， AC=2 ， BC=1，那么 cos∠ ABD的值是 ． 考點(diǎn)：與圓有關(guān)的概念及性質(zhì) 答案： 試題解析： ∵ AB是 ⊙ O的直徑， ∴∠ ACB=90176。 新疆烏魯木齊九十八中 =65176。 ． 故答案為 30． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了等邊三角形的性質(zhì)． 1 (2021 ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是垂徑定理和圓周角定理，垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的 兩條弧、等弧所對(duì)的圓周角相等是解題的關(guān)鍵． 三、解答題 如圖， AB 是⊙ O 的直徑、 C 是 AB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， CD 與⊙ O 相切于點(diǎn) E , AD CD?于點(diǎn) D . (1)求證 :AE 平分 DAC? 。 ﹣ ∠ ABC=20176。 ， AD=5， ∴ AB=10 ， ∴ BF=10 ； 扇形 DOE的面積 = = π ； （ 3）解：連接 OC，則圓心距 OC=5 ， 由題意得， 5 ﹣ 5＜ r＜ 5 +5， 故答案為： 5 ﹣ 5＜ r＜ 5 +5． (2021上海浦東 ， 又因?yàn)?AB為直徑 ∴ ∠ ACB=90176?！?AMB=30176。廣東深圳 ， ∠ CAE=∠ EDC ，所以 △ ACP∽ △ DEP；求弦 DE的長(zhǎng)有兩種方法： 一，利用 △ACP∽△DEP 的相似比 求 DE的長(zhǎng)； 二、過(guò)點(diǎn) D作 DF⊥AE 于點(diǎn) F，利用 Rt△ DFE 中的勾股定理求得 DE的長(zhǎng)． 【解答】 解：（ 1） ∵ ∠ ACD=45176。河北石家莊 ， ∴ △ ACB∽ △ 0NP ∴ = ， 又 ∵ AB=13 AC=5 OP= ， 代入得 ON= ， ∴ AN=OA+ON=9 ∴ 在 Rt△ OPN 中，有 NP2=0P2﹣ ON2=36 在 Rt△ ANP 中 有 PA= = =3 ∴ PA=3 ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了圓周角的定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線是本題的關(guān)鍵． (2021 OA=4， OC=3，求弦 AB的長(zhǎng)． 解：過(guò)點(diǎn) O作 OD⊥ AB于 D 在 Rt△ AOC中，2 2 2O A O C AC??， AC = 5 在 Rt△ AOC中，4C O S 5OAO AC AC? ? ? ； 在 Rt△ ADO中，S DAAD AO??， 所以AD OAAO AC?，165AD. 因?yàn)樵凇?O中， OD⊥ AB， 所以 AB=2AD= 5162?， 所以 AB=325． （ 2021模擬 )如圖，已知 △ ABC 內(nèi)接于 ⊙ O，且 AB=AC，直徑 AD交 BC于點(diǎn) E，F(xiàn)是 OE上的一點(diǎn)，使 CF∥ BD ． （ 1）求證： BE=CE； （ 2）試判斷四邊形 BFCD的形狀，并說(shuō)明理由； （ 3）若 BC=8， AD=10，求 CD的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】 垂徑定理；勾股定理；菱形的判定． 【分析】 （ 1）證明 △ ABD≌ △ ACD ，得到 ∠ BAD=∠ CAD ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明； （ 2）菱形，證明 △ BFE ≌ △ CDE ，得到 BF=DC，可知四邊形 BFCD是平行四邊形，易證 BD=CD，可證明結(jié)論； （ 3）設(shè) DE=x，則根據(jù) CE2=DE?AE列方程求出 DE，再用勾股定理求出 CD． 【解答】 （ 1）證明： ∵ AD 是直徑， ∴ ∠ ABD=∠ ACD=90176。 ． 故答案為： 20176。 ②求出圖中陰影部分的面積 .