【正文】 求所得骰子點(diǎn)數(shù) ? 的期望 奎屯王新敞 新疆 解： ∵ 6,2,1,6/1)( ?????? iiP ? ， 6/166/126/11 ??????????? ?E = 奎屯王新敞 新疆 例 ，其次品率是 15%，對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽取 1 件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品為止，但抽查次數(shù)不超過 10 次 奎屯王新敞 新疆求抽查次數(shù) ? 的期望（結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字） 奎屯王新敞 新疆 解：抽查次數(shù) ? 取 1 ???10 的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品中抽出 1 件檢查的試驗(yàn)可以認(rèn)為是彼此獨(dú)立的，取出次品的概率是 ，取出正品的概率是 ，前 1?k 次取出正品而第 k 次（ k =1， 2， … ， 10）取出次品的概率： )( 1 ??? ?kkP ? （ =1， 2， … ， 10） 需要抽查 10 次即前 9 次取出的都是正品的概率： )10( ???P 奎屯王新敞 新疆由此可得 ? 的概率分布如下： ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 根據(jù)以上的概率分布，可得 ? 的期望 ????????????E 奎屯王新敞 新疆 例 ，求所得骰子的點(diǎn)數(shù) ξ 的數(shù)學(xué)期望． 解：拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù) ξ 的概率分布為 ξ 1 2 3 4 5 6 P 61 61 61 61 61 61 所以 ??E 1 61 ＋ 2 61 ＋ 3 61 ＋ 4 61 ＋ 5 61 ＋ 6 61 ＝ (1＋ 2＋ 3＋ 4＋ 5＋ 6)61＝ ． 拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù) ξ的數(shù)學(xué)期望，就是 ξ的所有可能取值的平均值． 例 10 元，行駛路程不超出 4km 時(shí)租車費(fèi)為 10 元，若行駛路程超出 4km，則按每超出 lkm 加收 2 元計(jì)費(fèi) (超出不足 lkm 的部分按 lkm計(jì) )．從這個(gè)城市的民航機(jī)場到某賓館的路程為 15km．某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī)場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的 不同以及途中停車時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車路程 (這個(gè)城市規(guī)定，每停車 5 分鐘按 lkm 路程計(jì)費(fèi) )，這個(gè)司機(jī)一次接送旅客的行車路程 ξ 是一個(gè)隨機(jī)變量．設(shè)他所收租車費(fèi)為 η 奎屯王新敞 新疆 (Ⅰ )求租 車費(fèi) η 關(guān)于行車路程 ξ 的關(guān)系式； (Ⅱ )若隨機(jī)變量 ξ 的分布列為 ξ 15 16 17 18 P 求所收租車費(fèi) η 的數(shù)學(xué)期望． (Ⅲ )已知某旅客實(shí)付租車費(fèi) 38元，而出租汽車實(shí)際行駛了 15km，問出租車在途中因 故停 車?yán)塾?jì)最多幾分鐘 ? 解： (Ⅰ )依題意得 η=2(ξ4)十 10，即 η=2ξ+2； (Ⅱ ) ??E ???????? ∵ η=2ξ+2 ∴ ??E 2Eξ+2= （元） 故 所收租車費(fèi) η 的數(shù)學(xué)期望為 元． (Ⅲ )由 38=2ξ+2，得 ξ=18， 5? (1815)=15 所以出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多 15 分鐘 奎屯王新敞 新疆 奎屯王新敞 新疆 四、課堂練習(xí) ： 1. 口袋中有 5 只球，編號(hào)為 1， 2， 3， 4， 5，從中任取 3 球，以 ? 表示取出球的最大號(hào)碼，則 E?? （ ） A． 4； B． 5； C． ； D． 奎屯王新敞 新疆 答案： C 奎屯王新敞 新疆 2. 籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中的 1 分，罰不中得 0 分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為 ，求 ⑴他罰球 1次的得分 ξ 的數(shù)學(xué)期望； ⑵他罰球 2次的得分 η 的數(shù)學(xué)期望； ⑶他罰球 3次的得分 ξ 的數(shù)學(xué)期望． 解：⑴因?yàn)?)1( ???P ， )0( ???P ，所以 ??E 1 )1( ??P ＋ 0 )0( ???P ⑵ η 的概率分布為 η 0 1 2 P ??C 所以 ??E 0 ＋ 1 ＋ 2 ＝ ． ⑶ ξ 的概率分布為 ξ ０ １ 2 3 P 213 ??C 223 ??C 所以 ??E 0 ＋ 1 ＋ 2 ＝ . 3． 設(shè)有 m 升水，其中含有大腸桿菌 n 個(gè)．今取水 1 升進(jìn)行化驗(yàn)，設(shè)其中含有大腸桿菌的個(gè)數(shù)為 ξ ，求 ξ 的數(shù)學(xué)期望． 分析：任取 1 升水，此升水中含一個(gè)大腸桿菌的概率是 m1 ，事件“ ξ =k”發(fā)生，即 n個(gè)大腸桿菌中恰有 k個(gè)在此升水中，由 n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件 A（在此升水中含一個(gè)大腸桿菌）恰好發(fā)生 k次的概率計(jì)算方法可求出 P(ξ =k),進(jìn)而可求 Eξ . 解：記事件 A：“在所取的 1升水中含一個(gè)大腸桿菌”，則 P(A)=m1 ． ∴ P(ξ =k)=Pn(k)=Ckn m1 )k(1－ m1 )n－ k（ k=0,1,2,? .,n）． ∴ ξ ～ B(n,m1 )，故 Eξ =n m1 =mn 奎屯王新敞 新疆 五、小結(jié) ： (1)離散型隨機(jī)變量的期望，反 映了隨機(jī)變量取值的平均水平； (2)求離散型隨機(jī)變量 ξ 的期望的基本步驟：①理解 ξ 的意義，寫出 ξ 可能取的全部值；②求 ξ 取各個(gè)值的概率，寫出分布列； ③根據(jù)分布列，由期望的定義求出 Eξ 奎屯王新敞 新疆 公式 E（ aξ +b） = aEξ +b，以及 服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變 量的期望 Eξ =np 奎屯王新敞 新疆 六、課后作業(yè) ： P6465 練習(xí) 1,2,3,4 P69 A組 1,2,3 3個(gè)紅球和兩個(gè)黃球，從中同時(shí)取出 2 個(gè)，則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 （用數(shù)字作答） 解：令取取黃球個(gè)數(shù) ? (=0、 2)則 ? 的要布列為 ? 0 1 2 p 103 53 101 [來源 :學(xué)科網(wǎng) ] 于是 E（ ? ） =0103+153+2101= 故知紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 4個(gè)黑球、 3個(gè)白球、 2個(gè)紅球，從中任取 2個(gè)球，每取到一個(gè)黑球記 0分，每取到一個(gè)白球記 1分，每取到一個(gè)紅球記 2分，用 ? 表 示得分?jǐn)?shù) ①求 ? 的概率分布列 ②求 ? 的數(shù)學(xué)期望 解：①依題意 ? 的取值為 0、 4 ? =0時(shí)，取 2黑 p(? =0)= 612924 ?CC ? =1時(shí)，取 1黑 1白 p(? =1)= 31291314 ??CCC[來源 :Z167。 2A 2A 情感、態(tài)度與價(jià)值觀 ： 承前啟后，感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美 ,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化功能與人文價(jià)值。 科 167。 2 2 2 2221 1 1 1( 1 3 .5 ) ( 2 3 .5 ) ( 3 3 .5 ) ( 4 3 .5 )6 6 6 611( 5 3 .5 ) ( 6 3 .5 ) 2 .9 266DX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? D X? ??. 例 2． 有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息： 甲單位不同職位月工資 X1/元 1200[來源 :學(xué) +科 +網(wǎng) Z+X+X+K] 1400 1600 1800 獲得相應(yīng)職位的概率 P1 乙 單位不 同職位月工資 X2/元 1000 1400 1800 2020 獲得相應(yīng)職位的概率 P2 根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？ [來源 :學(xué) +科 +網(wǎng) Z+X+X+K] 解：根據(jù)月工資的分布列，利用計(jì)算器可算得 EX1 = 1200 + 1 400 + 1600 + 1800 = 1400 , DX1 = (12001400) 2 0. 4 + (14001400 ) 2 + (1600 1400 )2 +(18001400) 2 0. 1 = 40 000 。 A 2 2A 情感、態(tài)度與價(jià)值觀 ： 承前啟后，感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美 ,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化功能與人文 價(jià)值。 3A )+ p( 1A 3A )+ p( 1A 教學(xué)重點(diǎn)