高一數(shù)學人教b版必修3學案：13中國古代數(shù)學中的算法案例(完整版)
【正文】 2． 利用秦九韶算法，當多項式中出現(xiàn)空項時要用 0xn補齊 例 2 用秦九韶算法 ， 求當 x＝ 2 時 ， f(x)＝ x5－ 5x4＋ x3－ 1 的函數(shù)值 ． 錯解 利用秦九韶算法遞推公式， 有 v0＝ 1； v1＝ 1 2－ 5＝－ 3； v2＝ (－ 3) 2＋ 1＝－ 5； v3＝ (－ 5) 2－ 1＝－ 11. 所以 f(2)＝－ 11. 正解 利用公式有 v0＝ 1； v1＝ 1 2－ 5＝－ 3； v2＝ (－ 3) 2＋ 1＝－ 5； v3＝ (－ 5) 2＋ 0＝－ 10； v4＝ (－ 10) 2＋ 0＝－ 20； v5＝ (－ 20) 2－ 1＝－ 41. 所以 f(2)＝－ 41. 課本在算法案例中所介紹的等值算法 (即更相減損之術(shù) )與輾轉(zhuǎn)相除法 (即歐幾里得算法 )都是求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法 ， 它們既有相 同之處 ， 也有不同之處 ． 更相減損之術(shù)的具體算法是 ： 用兩數(shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù) ， 用所得的差與較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù) ， 對這一對數(shù)再用較大的數(shù)減去較小的數(shù) ， 以同樣的操作一直做下去 ， 直到產(chǎn)生一對相等的數(shù) ， 這個數(shù)就是所求的最大公約數(shù) ． 輾轉(zhuǎn)相除法的具體算法是 ： 用兩數(shù)中較大的數(shù)除以較小的數(shù) ， 若余數(shù)等于零 ， 則除數(shù)為最大公約數(shù) ； 否則把前面的除數(shù)作為被除數(shù) ， 余數(shù)作為除數(shù) ， 繼續(xù)運算 ， 直到余數(shù)為零 ， 此時除數(shù)即為最大公約數(shù) ． 例如 ： 我們用上述兩種方法來求 68 與 48 的最大公約數(shù) ． 等值算法操作如下 ： (68,48)→ (20,48)→ (20,28)→ (20,8)→ (12,8)→ (4,8)→ (4,4)． 所以 4 是 68 與 48 的最大公約數(shù) ． 輾轉(zhuǎn)相除法操作如下 ： (68,48)→ (20,48)→ (20,8)→ (4,8)． 所以 4 是 6
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