新人教a版高中數(shù)學選修2-131空間向量及其運算空間向量的數(shù)乘運算之一(完整版)
【正文】 b ★ c＝ xa＋ yb 向量 c與向量 a， b共面 (性質(zhì) ) (判定 ) 思考 1 : 如圖 , 平面 ? 為經(jīng)過已知點 A 且平行 兩不共線的 非零向量 ab、 的 平面 , 如何 表示 平面 A 上的任一點 P呢 ? OA abBCPp⑴ ∵ AP a b與 、 共面 , ∴ ? 唯一 有序 實數(shù) 對 ( , ),xy 使 A P x a y b?? . ∴ 點 P 在 平面 ? 上 ? ∴ ? 唯一 有序 實數(shù) 對 ( , ),xy 使 A P x a y b?? ① ⑵ ∵ 已知點 BC、 在平面 ? 內(nèi)且 A B a? , A C b? ∴ 點 P 在 平面 ? 上 ? ? 是 存在 唯一有序?qū)崝?shù)對 ( , ),xy 使 A P x A B y A C?? ② ⑶ ∵ 已知點 BC、 在平面 ? 內(nèi)且 A B a? , A C b? , 對于空間任意一點 O ∴ 點 P 在 平面 ? 上 ? ? 是 存在 唯一有序?qū)崝?shù)對 ( , ),xy 使 O P O A x AB y AC? ? ?③ 注 : ①、②、③式都稱為 平面 ? 的向量表示式 , 即 平面 由空間一點及 兩個不共線 向量唯一確定 . 證明 : ⑴ 充分性 ∵ O P x O A y O B z O C? ? ? 可變形為 ( 1 )O P y z O A y O B z O C? ? ? ? ?, ∴ ( ) ( )O P O A y O B O A z O C O A? ? ? ? ? ∴ AP y AB z AC?? ∴ 點 P 與 A B C、 、 共面 . 試證明 : 對于 不共線的三點 A B C、 、 和 平面 ABC 外的一點 O , 空間一點 P 滿足關系式 O P x O A y O B z O C? ? ? , 則點 P 在 平面 ABC 內(nèi) 的 充要條件 是 1x y z? ? ? . 思考 2（課本 P88思考） 即， P、 A、 B、 C四點共面。
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