【正文】 ? 即 ? 式中令 ，與式（ 93）相比較可知 , 復(fù)擺在擺角很小時(shí)的振動是簡諧振動 22d θm g h θ J dt??22 0m g hd θ θJdt ?＋2 mglω J?sin θ θ?景德鎮(zhèn)高專物理系 景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 例 91. 一遠(yuǎn)洋海輪，質(zhì)量為 Ｍ ，浮在水面時(shí)其水平截面積為 Ｓ 。 ? 設(shè)在某時(shí)刻 , 單擺的擺線與豎直方向的夾角為 θ ，忽略一切阻力時(shí)，重物受到重力 G和線的拉力 T作用。在小幅度振動時(shí)，由胡克定律可知，物體所受的彈性力Ｆ 與彈簧的伸長即物體相對平衡位置的位移 x成正比，彈性力的方向與位移的方向相反，總是指向平衡位置。 景德鎮(zhèn)高專物理系 1. 彈簧振子 ? 質(zhì)量為 m的物體系于一端固定的輕彈簧 (彈簧的質(zhì)量相對于物體來說可以忽略不計(jì) )的自由端，這樣的彈簧和物體系統(tǒng)就稱為彈簧振子。景德鎮(zhèn)高專物理系 第九章 振動 景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 本章要點(diǎn)： ? 1. 簡諧振動的定義及描述方法 . ? 2. 簡諧振動的能量 ? 3. 簡諧振動的合成 景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 物體在一定位置附近作周期性的往返運(yùn)動，如鐘擺的擺動，心臟的跳動，氣缸活塞的往復(fù)運(yùn)動，以及微風(fēng)中樹枝的搖曳等，這些都是振動。如將彈簧振子水平放置，如圖 91所示，當(dāng)彈簧為原長時(shí)，物體所受的合力為零，處于平衡狀態(tài)，此時(shí)物體所在的位置 O就是其平衡位置。即 ? Ｆ ＝－ kx ? 式中 k是彈簧的勁度系數(shù) ,它由彈簧本身的性質(zhì) (材料、形狀、大小等 )所決定，負(fù)號表示力與位移的方向相反。重力的切向分量 決定重物沿圓周的切向運(yùn)動。設(shè)在水面附近海輪的水平截面積近似相等，如圖 94所示。 ? 簡諧振動是一種理想的運(yùn)動過程。 ? 由此可見，諧振動的規(guī)律不僅出現(xiàn)于力學(xué)范疇，它還出現(xiàn)于電磁學(xué)、原子物理學(xué)、光學(xué)及其它領(lǐng)域。我們把完成一次完整全振動所經(jīng)歷的時(shí)間稱為周期，用 T來表示。 ? 周期和頻率都是反映振動快慢的物理量。 ? 對于長為 l、可繞過其一端的軸轉(zhuǎn)動的細(xì)桿， ，所以繞桿端軸線擺動的周期和頻率分別為 ? 2 m g hω J?2 JT π m g h? 12 m g hυ π J?213J ml?22 π3lTg?31υ2 π 2gl?景德鎮(zhèn)高專物理系 3. 相位和初相 ? 由（ 9４）式可知，當(dāng)角頻率和振幅Ａ已知時(shí)，振動物體在任一時(shí)刻 t的運(yùn)動狀態(tài)（位置、速度、加速度等）都由（ ）決定。由此可見，相位是反映周期性特點(diǎn)，并用以描述運(yùn)動狀態(tài)的重要物理量。 ? 引入相位差的概念，不僅僅是為了描述兩個(gè)同頻率簡諧振動之間的步調(diào)上的差異，后面將看到，當(dāng)一個(gè)物體同時(shí)參與兩個(gè)或兩個(gè)以上同頻率的簡諧振動時(shí)，合振動的強(qiáng)弱將取決于這幾個(gè)振動之間的相位差。 ? 例 92 如圖 91所示，一輕彈簧的勁度系數(shù) k = 50 ，今將質(zhì)量為 2 kg的物體，從平衡位置向右拉長到 x 0 = m處，并以 v 0 =的速度開始運(yùn)動，試求： 景德鎮(zhèn)高專物理系 ? (1)諧振動方程； (2)物體從初位置運(yùn)動到第一次經(jīng)過 處時(shí)的速度。因而，作勻速轉(zhuǎn)動的矢量 A，其端點(diǎn) M在 x軸上的投影點(diǎn) P的運(yùn)動是簡諧振動。 ? 在簡諧振動過程中 ,相位 隨時(shí)間線性變化，變化速率為角頻率 。把物體從平衡位置向下拉 m后釋放，測得其周期為 2 s ，見圖 99（ a）。由于在運(yùn)動過程中，彈簧振子不受外力和非保守內(nèi)力的作用，其總的機(jī)械能守恒 ? E = Ek + Ep = + 以式（ 92）： 代入，則上式簡化為 2 2 212 m ω A s i n ω t φ?（ ） 212kA 2c o s ω t φ?（ ）2k ωm? 212E kA?景德鎮(zhèn)高專物理系 景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 上式說明：諧振系統(tǒng)在振動過程中，系統(tǒng)的動能和勢能也都分別隨時(shí)間發(fā)生周期性變化，它們之間在不斷地相互轉(zhuǎn)換。例如，當(dāng)兩列聲波同時(shí)傳播到空間某一處，則該處空氣質(zhì)點(diǎn)就同時(shí)參與這兩個(gè)振動。合矢量 A就是相應(yīng)的合振動的振幅矢量，而合振動的表達(dá)式可從合矢量 A在 x軸上的投影給出， A和 φ也可以由圖簡便地得到。如果 A1 = A2 ，則 A = 0 ，就是說振動合成的結(jié)果使質(zhì)點(diǎn)處于靜止?fàn)顟B(tài)。所以上列兩方程就是用參量 t來表示的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌道的參量方程。振幅為 A= (2)當(dāng)相位差 φ2 － φ1= ，這時(shí)式 913變?yōu)? ? 合振動的軌跡是一以坐標(biāo)軸為主軸的沿順時(shí)針方向運(yùn)行的正橢圓 [圖 913(b)] 2 0xyyxAA??（ ） yxAyxA?2 2 2 2 c o sxys x y A A ω t φ? ? ? ? ?（ ）22xyAA?22221yxyx AA ??2π景德鎮(zhèn)高專物理系 ? (3)當(dāng)相位差 φ2 － φ1 = π ，即兩振動反相。 322ππ ?或2π?景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 圖 914 兩個(gè)等幅的、相位差為 的相互垂直的同頻率的簡諧振動的合成 景德鎮(zhèn)高專物理系 景德鎮(zhèn)高專物理系 * 阻尼振動 damped vibration ? 前面所討論的簡諧振動，振動系統(tǒng)都是在沒有阻力作用下振動的，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，振幅不隨時(shí)間而變化。在回復(fù)力和阻力作用下的振動稱為阻尼振動。圖 916是阻尼振動的位移時(shí)間曲線。在過阻尼狀態(tài)和減幅振動狀態(tài)，振動物體從運(yùn)動到靜止都需要較長的時(shí)間，而在臨界阻尼狀態(tài)，振動物 ? 體從靜止開始運(yùn)動回復(fù)到平衡位置需要的時(shí)間卻最短的。如聲波引起耳膜的振動、馬達(dá)轉(zhuǎn)動導(dǎo)致基座的振動等等。首先，受迫振動的角頻率不是振子的固有角頻率，而是驅(qū)動力的角頻率；其次，受迫振動的振幅和初相位不是決定于振子的初始狀態(tài)，而是依賴于振子的性質(zhì)、阻尼的大小和驅(qū)動力的特征。系統(tǒng)的共振頻率是由固有頻率 ω0和阻尼系數(shù) β 決定的，將式（ 920）代入式（ 918）可得共振時(shí)的振幅 ? （ 921） ? 由上式可知，阻尼系數(shù)越小，共振角頻率越接近系統(tǒng)的固有角頻率 ω0，同時(shí)共振的振幅也越大。位移最大時(shí)，勢能達(dá)最大，動能為零；物體通過平衡位置時(shí)，勢能為零，動能達(dá)最大值。 ? *7. 阻尼振動 在回復(fù)力和阻力作用下的振動稱為阻尼振動。若有一質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)在此隧道內(nèi)可作無摩擦運(yùn)動。 ? （ 1）證明砝碼的上下振動是簡諧振動；（ 2）求此諧振動的振幅、角頻率和頻率；（ 3）若從放手時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，求此諧振動的運(yùn)動方程（正向向下） 景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 96 質(zhì)量 m = kg的質(zhì)點(diǎn)沿 x軸作諧振動，振幅 A = m，周期 T = 4 s， t = 0 時(shí)質(zhì)點(diǎn)在 x0 = m處，且向 x負(fù)方向運(yùn)動。s2，求： ? （ 1）振動的周期；（ 2）通過平衡位置時(shí)的動能；（ 3）總能量；（ 4）物體在何處其動能與勢能相等？ 34πφ?景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 911 一個(gè) kg的質(zhì)點(diǎn)作諧振動，其運(yùn)動方程為 x = 6 102sin（ 5t － π /2） m。若電子在兩個(gè)方向上的位移分別為 x = Acosωt和 y = Acos（ ωt +φ），求在 φ= 0， φ=30176。 ? 一只擺鐘（單擺），在 g = 若有一質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)在此隧道內(nèi)可作無摩擦運(yùn)動。 ? *9. 共振 穩(wěn)定狀態(tài)下受迫振動的一個(gè)重要特點(diǎn)是：振幅 A的大小與驅(qū)動力的角頻率 ω有很大的關(guān)系，驅(qū)動力的角頻率為某一定值時(shí)，受迫振動的振幅達(dá)到極大的現(xiàn)象叫做共振。 ? A. 當(dāng)兩振動同相，即相位差（ φ2 － φ1） = 2kπ 時(shí)，（ k = 0， ），A = A1 + A2 ? 合振動的振幅等于原來兩個(gè)振動的振幅之和。 02202rFA m β ω β? ?rωrω景德鎮(zhèn)高專物理系 本章小結(jié)： ? 1. 振動中最簡單、最基本的振動是簡諧振動。圖 917是對應(yīng)于不同 β 值的 Aω曲線。 ? 為簡單起見，假設(shè)驅(qū)動力有如下的形式 ? F = F0 cosωt 景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 式中 F0是驅(qū)動力的幅值， ω為驅(qū)動角頻率。 景德鎮(zhèn)高專物理系 ? 在生產(chǎn)實(shí)際中，可以根據(jù)不同的要求，用不同的方法改變阻尼的大小以控制系統(tǒng)的振動情況。阻尼越大，振幅衰減得越快。能量損失的原因通常有兩種：一種是由于介質(zhì)對振動物體的摩擦阻力使振動系統(tǒng)的能量逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)闊徇\(yùn)動的能量，這叫摩擦阻尼。一個(gè)振動物體不受任何阻力的影響，只在回復(fù)力作用下所作的振動，稱為無阻尼自由振動。也是簡諧振動，振動頻率與分振動的頻率相同。因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)的位移 x和 y在有限范圍內(nèi)變動，所以橢圓軌道不會超出以 2A1和 2A2為邊的矩形范圍。如圖 912（ c）。從式（ 911）可以看出，合振動的振幅 A除了與原來的兩個(gè)分振動的振幅有關(guān)外，還取決于兩個(gè)振動的相位差（ φ2 － φ1）。就是說，物體在任意時(shí)刻的位置矢量為物體單獨(dú)參與每個(gè)分振動的位置矢量之和，即 ? r = r1 + r2 + r3 +… ? 一般的振動合成問題比較復(fù)雜，下面我們只研究幾種特殊情況的諧振動合成。即系統(tǒng)的總機(jī)械能是守恒的。 ? 已知 T = 2 s，則 以釋放物體時(shí)作起始時(shí)刻，有 t = 0時(shí)， y0 = － m， v0 = 0 ， 則 ? ? 所以 或 因?yàn)?y0為負(fù)值，故 得彈簧振動的振動方程為 ? Y = cos（ π t + π）（ m） ? 若向下作為 Y軸的正方向， y0為正值， φ應(yīng)取 0，彈簧的振動方程則為 ? Y = cosπ t （ m） ? 可見，對于同一個(gè)簡諧振動，選取不同的坐標(biāo)系，將會有不同形式的運(yùn)動方程 2πω π r a d sT?? ／220000010vA y . mωvtg φy ω? ? ???（ ）0φ? φ π? φ π?景德鎮(zhèn)高專物理系 ? (1)由旋轉(zhuǎn)矢量圖 99（ b）可知，物體首次經(jīng)過平衡位置的相位為（ ωt +φ） = ，此時(shí)的速度為 ? 速度的方向向上，與坐標(biāo)正方向相同。把握住這一點(diǎn)，配合旋轉(zhuǎn)矢量圖，就可以巧妙地解決一些看來似乎困難的問題。矢量 A轉(zhuǎn)一圈所需的時(shí)間就是簡諧振動的周期。 ? 角頻率 振幅和初相由初始條件 x 0及 v0決定，已知 x 0 = m， v0 = 由式（ 98）得