【正文】 序列. 為常系數(shù),r(k),c(k)分別為輸入和輸出采樣序列. 工業(yè)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)就是典型的離散系統(tǒng)，如前述的爐 工業(yè)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)就是典型的離散系統(tǒng)， 溫微機(jī)控制系統(tǒng)等。 舵儀、冶金部門的恒溫系統(tǒng)等。 火炮系統(tǒng)，衛(wèi)星控制系統(tǒng)等。 作量大大增加。 原函數(shù)。 ( 0 ) L? ? = s F (s) ? s n ? dt ? ? ? ? ? ? ? ? ? sf ( n ? 2 ) ( 0 ) ? f ( n ? 1 ) ( 0 ) 證明： 證明： d f (t ) ]= L [ dt ∫0 ∞ = e st ∞ f (t) ? ? 0 d f (t ) ? st e dt dt ∫ ∞ 0 ( ? s )e ? st f ( t ) dt ? = sF ( s ) ? f ( 0 ? ) 同理可得 d f 2 (t ) ]= L [ 2 dt ∫0 ∞ d f 2 ( t ) ? st e dt 2 dt d df ( t ) ? st [ ]e dt = ∫ ? 0 dt dt df ( t ) ? = s [ sF ( s ) ? f ( 0 )] ? dt t = 0 ? ∞ 依此類推,可得 依此類推 可得 ′( 0 ? ) = s F ( s ) ? sf ( 0 ) ? f 2 ? d n f (t ) ] = s n F ( s ) ? s n ?1 f (0? ) ? L ? f ( n ?1) (0? ) L[ dt n 為有始函數(shù),則 若f(t)為有始函數(shù) 則 為有始函數(shù) df (t )ε (t ) f (t ) = f (t )ε (t ), L [ ] = sF ( s ) dt 81 當(dāng)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值都為零時(shí)： 及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值都為零時(shí)： d f (t ) ? n L? ? = s F (s) ? dt ? n 5 、時(shí)域積分 設(shè) L [ f (t )] = F ( s ), 則 ∫0 t F (s) f (λ )d λ ? s 證明： 證明：由定義 L [∫ t 0? f (λ )d λ ] = ∫0 ∞ [∫ ? t 0? f ( λ ) d λ ]e ? s t d t ∞ 0? e ? st =[ s F (s) = s ∫ t 0? ∞ 1 f ( λ )dλ ? + s 0 ∫ f ( t ) e ? st dt ] 83 所以 L [∫ t ?∞ f (λ )d λ ] = f 1 (0 ? ) F (s) + s s t 1 如已知 ε ( t ) ? ，而 tε ( t ) = ∫ ? ε ( λ ) d λ 0 s 1 1 1 (t 所以 tε (t ) ? ( ) = 2 s s s 84 ⑷ 拉氏反變換 1 σ + j∞ f (t ) = F ( s )e st ds ( s = σ + jω , t 0) 拉氏反演積 定義： 定義： 2πj ∫σ ? j∞ 分 求拉氏逆變換的方法 在實(shí)際使用時(shí)，采用部分分式展開法， 在實(shí)際使用時(shí)，采用部分分式展開法，即將復(fù) 雜函數(shù)展開成簡(jiǎn)單函數(shù)的和 F 當(dāng)： ( s) = F1 ( s) + F2 ( s ) + ? ? ? ? ? ? + Fn ( s ) 時(shí) L?1[F ( s )] = L?1 F1 ( s ) + L?1 F2 ( s ) + ? ? ? ? ? ? + L?1 Fn ( s ) = f1 (t ) + f 2 (t ) + ? ? ? ? ? ? + f n (t ) 1 其中： f i (t ) = L [Fi ( s )] 其中： [ ] [ ] [ ] 可查表。 用拉氏變換法求解線性定常微分方程的過程可歸結(jié)如下： 用拉氏變換法求解線性定常微分方程的過程可歸結(jié)如下： 考慮初始條件， 考慮初始條件，對(duì)微分方程中的每一項(xiàng)分別進(jìn)行拉 氏變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為變量s的代數(shù)方程； 氏變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為變量s的代數(shù)方程； 由代數(shù)方程求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式； 由代數(shù)方程求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式； 對(duì)輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換， 對(duì)輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時(shí) 域表達(dá)式，即為所求微分方程的解。 1 傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì) ⑴ 定義 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù),定義為初始條件為零時(shí), 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù),定義為初始條件為零時(shí),輸 出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比,記為G ),即 出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比,記為G(S),即: C (s) G (s) = R (s) （216） 16） 設(shè)線性定常系統(tǒng)的n 設(shè)線性定常系統(tǒng)的n階線性常微分方程為 dn d n ?1 d a0 n c(t ) + a1 n ?1 c(t ) + L + an ?1 c(t ) + an c(t ) dt dt dt dm d m ?1 d = b0 m r (t ) + b1 m ?1 r (t ) + L + bm ?1 r (t ) + bm r (t ) dt dt dt 設(shè) r(t) 和 c(t) 及其各階導(dǎo)數(shù)在 t=0 時(shí)的值均為零,即零初始條 時(shí)的值均為零, 對(duì)上式中各項(xiàng)分別求拉氏變換, 件,對(duì)上式中各項(xiàng)分別求拉氏變換,令C(s)=L[c(t)], R(s)=L[r(t)] 可得 s 的代數(shù)方程為 (a0 s n + a1s n ?1 + L + an ?1s + an )C ( s ) = (b0 s m + b1s m ?1 + L + bm ?1s + bm ) R ( s ) 于是, 于是,由定義得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 C ( s ) b0 s m + b1 s m ?1 + L + bm ?1 s + bm M (s) = = G (s) = (217) (2n n ?1 R(s) a 0 s + a1 s + L + a n ?1 s + a n N (s) 式中 M ( s ) = b0 s m + b1s m ?1 + L + bm ?1s + bm N ( s ) = a0 s n + a1s n ?1 + L + an ?1s + an ?1 例28 試求例21 RLC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù) 試求例2 RLC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù) R ui(t) L i(t) C 解: 該網(wǎng)絡(luò)微分方程已求出,如式(21) 該網(wǎng)絡(luò)微分方程已求出,如式(2uo(t) d2uo (t) duo (t) LC 2 + RC +uo (t) = ui (t) dt dt 返回 在零初始條件下,對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換, 在零初始條件下,對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換,令Uo(s)=L[uo(t)], Ui(s)=L[ui(t)]得 (t)]得 ( LCs 2 + RCs + 1)U o ( s ) = U i ( s ) (218) (2 由傳遞函數(shù)定義得網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)為 U o ( s) 1 G ( s) = = U i ( s ) LCs 2 + RCs + 1 (219) (2 ⑵ 性質(zhì) ① 傳遞函數(shù)是復(fù)變量 s 的有理真分式函數(shù),具有復(fù)變函 的有理真分式函數(shù), 數(shù)的所有性質(zhì). m≤n且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù) 且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù). 數(shù)的所有性質(zhì). 有m≤n且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù). ② 傳遞函數(shù)是一種用系統(tǒng)參數(shù)表 示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達(dá)式, 示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達(dá)式, R(s) 它只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù), 它只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù), G(s) C(s) 而與輸入量的形式無(wú)關(guān), 而與輸入量的形式無(wú)關(guān),也不反映系統(tǒng) ,可以用圖2 ,可以用圖25的 圖25 傳遞函數(shù)的圖示 方塊圖表示一個(gè)具有傳遞函數(shù)G(s)的 方塊圖表示一個(gè)具有傳遞函數(shù)G(s)的 線性系統(tǒng). 線性系統(tǒng). ③ ，若 ， 將微分方程的算符d/dt 置換便得到傳遞函數(shù)。 ⑷ 方框(環(huán)節(jié)) . 對(duì)信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換, 框內(nèi)為元部件或系統(tǒng) 方框(環(huán)節(jié)) 對(duì)信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換, 的傳遞函數(shù),如圖2 12(d).方框可視作單向運(yùn)算的算子 方框可視作單向運(yùn)算的算子， 的傳遞函數(shù),如圖212(d).方框可視作單向運(yùn)算的算子，方框的 輸出量等于其輸入量與框內(nèi)傳遞函數(shù)乘積, C(s)=G(s)U(s)。 所以系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。 系統(tǒng)本身有的反映能源有的不反映能源 ， 如有源 網(wǎng)絡(luò)和無(wú)源網(wǎng)絡(luò)等，但從方框圖上一般不明顯表示出來(lái)。 方框圖不唯一。 第五節(jié) 對(duì)自動(dòng)控制系統(tǒng)的一般要求 由于控制系統(tǒng)中固有誤差量的存在和系統(tǒng)存在一定 的響應(yīng)時(shí)間，因此對(duì)于控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)， 的響應(yīng)時(shí)間，因此對(duì)于控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，只能要求在 盡可能范圍內(nèi)盡量滿足其技術(shù)上的要求。 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 過渡過程時(shí)間 過渡過程時(shí)間ts 12 s2+2s+12 Step1 單位階躍響應(yīng) 仿真MATLAB MATLAB模型 仿真MATLAB模型 系統(tǒng)達(dá)到給定允許誤差區(qū)， 系統(tǒng)達(dá)到給定允許誤差區(qū) ， 并從此不再超越此區(qū) ， 所需 的時(shí)間 。 振蕩的次數(shù)小 ， 則阻尼性好 。 維列向量，其中xi稱為該向量的分量 稱為該向量的分量。 性好）、準(zhǔn)確性高。 的慣性，即響應(yīng)速度。 控制系統(tǒng)的性能一般要求從一下三個(gè)方面來(lái)評(píng)價(jià) ⑴ 穩(wěn)定性 穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最基本的要求。由于研究角度不一樣，傳遞函數(shù)列寫出來(lái) 就不一樣，方框圖也就不一樣。 能更直觀更形象地表示系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的功能和相互關(guān)系， ② 能更直觀更形象地表示系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的功能和相互關(guān)系 ， 以及信號(hào)的流向和每個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。 例210 繪制如圖213所示 RC 無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖 繪制如圖2 13所示 解 將無(wú)源網(wǎng)絡(luò)視為一個(gè)系 統(tǒng)，組成網(wǎng)絡(luò)的元件就對(duì)應(yīng)于 系統(tǒng)的元部件。 幾種典型部件的傳遞函數(shù) 比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)） 比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)） U（S） C（S） K U（S） C（S） 微分環(huán)節(jié) TS U（S） C（S） 積分環(huán)節(jié) 1/TS U（S） C（S） 二階環(huán)節(jié) K/T2s2＋2ξTs＋1 Ts＋ 繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的步驟 ， 1. 考慮負(fù)載效應(yīng)分別列寫各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)， 考慮負(fù)載效應(yīng)分別列寫各元部件的微分方程或傳遞函數(shù) 并將它們用方框表示 ， 2. 根據(jù)各元部件的信號(hào)流向，用信號(hào)線依次將各方框連接 根據(jù)各元部件的信號(hào)流向 便得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。反之 亦可. 亦可. ④ 傳遞函數(shù) G(s) 的拉氏反變換是脈沖響應(yīng) g(t) . 脈沖響應(yīng) g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖 g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖 δ (t ) 輸入時(shí)的輸出響應(yīng),此時(shí), R ( s ) = L[δ (t )] 輸入時(shí)的輸出響應(yīng),此時(shí), = 1 , 故有 g (t ) = L?1 [C ( s )] = L?1 [R ( s )G ( s )] = L?1 [G ( s )] . ⑶ 物理意義 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的, 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的,控制系統(tǒng)的零初始條 件有兩方面的含義: 件有兩方面的含義: 輸入量是在t≥0時(shí)才作用于系統(tǒng) 因此在t=0輸入量是在t≥0時(shí)才作用于系統(tǒng),因此在t=0時(shí)輸入量 時(shí)才作用于系統(tǒng), 及其各階導(dǎo)數(shù)均為零 輸入量加于系統(tǒng)之前,系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài), 輸入量加于系統(tǒng)之前,系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài),即輸 出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值也為零. 出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t= 制系統(tǒng)多屬此類情況. 制系統(tǒng)多屬此類情況. 2. 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 方框圖 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各元部件之間信號(hào)傳 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各元部件之間信號(hào)傳 遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形, 遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形,它們表示了系統(tǒng)中各變量之間的因果 關(guān)系以及對(duì)各變量所進(jìn)行的運(yùn)算, 關(guān)系以及對(duì)各變量所進(jìn)行的運(yùn)算,是控制理論中描述復(fù)雜 系統(tǒng)的一種簡(jiǎn)便方法. 系統(tǒng)的一種簡(jiǎn)便方法. 1 結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是由許多對(duì)信號(hào)進(jìn)行單向運(yùn)算的方框和一 些信號(hào)流向線組成,它包含四種基本單元: 些信號(hào)流向線組成,它包含四種基本單元: 圖 結(jié)構(gòu)圖的基本組成單元 圖 結(jié)構(gòu)圖的基本組成單元 ⑴ 信號(hào)線 . 帶有箭頭的直線,箭頭表示信號(hào)的流向,在直線旁 帶有箭頭的直線,箭頭表示信號(hào)的流向, 標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)，如上圖(a)。 二、傳遞函數(shù)與方塊圖 拉氏變換法求解系統(tǒng)微分方程時(shí)， 拉氏變換法求解系統(tǒng)微分方程時(shí)，可得到控制系 統(tǒng)在復(fù)數(shù)域中的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)。 一般地，象函數(shù)F(s)是復(fù)變數(shù)s F(s)是復(fù)變數(shù) 一般地，象函數(shù)F(s)是復(fù)變數(shù)s的有理代數(shù)分式 A(s)=0無(wú)重根時(shí)， A(s)=0無(wú)重根時(shí)，可有 無(wú)重根時(shí) 或 根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)有 (212) (213) 例25 解 則有 根據(jù)式(213)