數(shù)值分析-高斯—勒讓德積分公式(完整版)
【正文】 和理論 勒讓德求積公式在高斯求積公式()中，若取權函數(shù)，區(qū)間為，則得公式 我們知道勒讓德多項式是區(qū)間上的正交多項式，因此，勒讓德多項式的零點就是求積公式(上式)的高斯點．形如(上式)的高斯公式特別地稱為高斯－勒讓德求積公式．若取的零點做節(jié)點構造求積公式令它對準確成立，即可定出．這樣構造出的一點高斯－勒讓德求積公式是中矩形公式．再取的兩個零點構造求積公式令它對都準確成立，有．由此解出，從而得到兩點高斯－勒讓德求積公式．三點高斯－勒讓德求積公式的形式是．如表列出高斯－勒讓德求積公式的節(jié)點和系數(shù)．01234公式()的余項由()得，這里是最高項系數(shù)為１的勒讓德多項式，由()及()得． 當時，有．它比辛普森公式余項還小，且比辛普森公式少算一個函數(shù)值．當積分區(qū)間不是[－１，１]，而是一般的區(qū)間時，只要做變換可將化為［－１，１］，這時． 對等式右端的積分即可使用高斯－勒讓德求積公式．將被積區(qū)間m等分, 記, 作變換在每個小區(qū)間上應用GaussLegendre公式, 累加即得復化GaussLegendre求積公式不妨設則有:Gauss點個數(shù)時,Gauss點個數(shù)時,總結復化GaussLegendre求積過程如下:1. 分割區(qū)間, 記錄區(qū)間端點值；2. 通過查表或求解非線性方程組, 在所有小區(qū)間上, 將Gauss系數(shù)和Gauss點的值代入變量替換后的公式；3. 將所有區(qū)間的結果累加, 即得到整個區(qū)間上的積分近似值.針對Gauss點個數(shù)和的復化GaussLegendre求積公式編寫的一個簡單的MATLAB函數(shù) pgauss() 如下: function [ ] = pgauss(a, b, n)% Composite Gauss Integration% Equation Type: n=2, n=3% Coded by 20100525% Divide Interval% Calculate% Sum Resultsformat longf = (x) exp(x).*sin(x)。高斯積分法是精度最高的插值型數(shù)值積分，具有2n+1階精度，并且高斯積分總是穩(wěn)定。然而，當積分區(qū)間較大時，積分精度并不理想。第一種，是單純的積分，也就是已知導數(shù)求原函數(shù)，稱為不定積分。通常運用的是（1，1）的積分節(jié)點和積分系數(shù)，其他積分域是通過變換x=(ba)t/2fk1=zeros(n,1)。Result of 2 Nodes:39。 define10s。f(double h=ba。 xk=a+(k+)*h。//T`m`(h/2),變步長梯形求積公式 p=q。2q。x,w。doubleFivePointGaus
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