【正文】 少有一只藍(lán)球}C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5種情況互斥由概率有限可加性，得（2）記D={有一只藍(lán)球，一只白球}，而且知D= A1B3+A3B1兩種情況互斥（3）[三十] A，B，C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話(huà)，據(jù)統(tǒng)計(jì)知，打給A，B，C的電話(huà)的概率分別為。某船只運(yùn)輸某種物品損壞2%（這一事件記為A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分別為P (A1)=, P (A2)=, P (A2)=，現(xiàn)從中隨機(jī)地獨(dú)立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為B），試分別求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相獨(dú)立地）∵ B表取得三件好物品。在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國(guó)徽。解：設(shè)Bi表示“第i次取到一等品” i=1，2Aj表示“第j箱產(chǎn)品” j=1,2，顯然A1∪A2=S A1A2=φ（1）（B1= A1B +A2B由全概率公式解）。第一次及格的概率為P，若第一次及格則第二次及格的概率也為P；若第一次不及格則第二次及格的概率為（1）若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。 如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)（記為事件B）問(wèn)題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下，求H再發(fā)生的概率。（1）二只都是正品（記為事件A）法一：用組合做 在10只中任取兩只來(lái)組合，每一個(gè)組合看作一個(gè)基本結(jié)果，每種取法等可能。擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且滿(mǎn)足x,+y=7，則樣本空間為S={(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}每種結(jié)果（x, y）等可能。但10組釘鉚完10個(gè)部件要分先后次序）對(duì)E：鉚法有種，每種裝法等可能對(duì)A：三個(gè)次釘必須鉚在一個(gè)部件上。放法432種。取得4白3黑2紅的取法有故 12.[八] 在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品，1100個(gè)正品，任意取200個(gè)。分別佩代著從1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章，任意選3人記錄其紀(jì)念章的號(hào)碼。相當(dāng)于：AB，BC，AC中至少有一個(gè)發(fā)生。 （[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}2.[二] 設(shè)A，B，C為三事件，用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。（1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生。故 表示為：AB+BC+AC6.[三] 設(shè)A，B是兩事件且P (A)=，P (B)=. 問(wèn)(1)在什么條件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么條件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P (A) = ，P (B) = ≠φ，（否則AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=+=1與P (A∪B)≤1矛盾）.從而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*)（1）從0≤P(AB)≤P(A)知，當(dāng)AB=A，即A∩B時(shí)P(AB)取到最大值，最大值為 P(AB)=P(A)=，（2）從(*)式知，當(dāng)A∪B=S時(shí)，P(AB)取最小值，最小值為 P(AB)=+－1= 。（1）求最小的號(hào)碼為5的概率。（1）求恰有90個(gè)次品的概率。 (選排列：好比3個(gè)球在4個(gè)位置做排列)對(duì)A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。這種鉚法有〔〕10種法二：用古典概率作把試驗(yàn)E看作是在50個(gè)釘中任選30個(gè)釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。A={擲二骰子，點(diǎn)數(shù)和為7時(shí)，其中有一顆為1點(diǎn)。法二：用排列做 在10只中任取兩個(gè)來(lái)排列，每一個(gè)排列看作一個(gè)基本結(jié)果，每個(gè)排列等可能。 24.[十九] 設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，?wèn)取到（即從乙袋中取到）白球的概率是多少？（此為第三版19題(1)）記A1，A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”再記B表“再?gòu)囊掖腥〉冒浊颉?。?）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。（2） （先用條件概率定義，再求P (B1B2)時(shí)，由全概率公式解）312LR32.[二十六（2）] 如圖1，2，3，4，5表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率為p，且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)立，求L和R是通路的概率。問(wèn)這只硬幣是正品的概率為多少？解：設(shè)“出現(xiàn)r次國(guó)徽面”=Br “任取一只是正品”=A由全概率公式，有 （條件概率定義與乘法公式）35．甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊。 B=A1B+A2B+A3B 三種情況互斥由全概率公式，有∴ P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3) =()3+()3+()3= 37.[三十四] 將A，B，C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為α，而輸出為其它一字母的概率都是(1－α)/2。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?，A，B，C三人外出的概率分別為，設(shè)三人的行動(dòng)相互獨(dú)立，求（1）無(wú)人接電話(huà)的概率；（2）被呼叫人在辦公室的概率；若某一時(shí)間斷打進(jìn)了3個(gè)電話(huà)，求（3）這3個(gè)電話(huà)打給同一人的概率；（4）這3個(gè)電話(huà)打給不同人的概率；（5）這3個(gè)電話(huà)都打給B，而B(niǎo)卻都不在的概率。解：（1）P (X=k)=qk－1p k=1,2,…… （2）Y=r+n={最后一次實(shí)驗(yàn)前r+n－1次有n次失敗，且最后一次成功}其中 q=1－p，或記r+n=k，則 P{Y=k}= （3）P (X=k) = ()k－ k=1,2…P (X取偶數(shù))=6.[六] 一大樓裝有5個(gè)同類(lèi)型的供水設(shè)備，問(wèn)在同一時(shí)刻（1）恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（2）至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（3）至多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（4）至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？[五] 一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開(kāi)的。解：（1）X的可能取值為1，2，3，…，n，…P {X=n}=P {前n－1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去} =， n=1，2，……（2）Y的可能取值為1，2，3 P {Y=1}=P {第1次飛了出去}= P {Y=2}=P {第1次飛向 另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去} = P {Y=3}=P {第1，2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去} = 同上， 故8.[八] 甲、乙二人投籃，, ，令各投三次。試問(wèn)他是猜對(duì)的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。任取5只，問(wèn)其中至少有2只壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？解：一個(gè)電子管壽命大于1500小時(shí)的概率為令Y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時(shí)的個(gè)數(shù)”。求（1）P (X≤105)，P (100X ≤120). （2）確定最小的X使P (Xx) ≤ .解:27.[二十五] 由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度（cm）服從參數(shù)為μ=，σ=。 =0當(dāng)y1時(shí)，ψ( y)= [FY ( y)]39。 ( y)| = （2）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求Y=X 2的概率密度。 = = 036.[三十三] 某物體的溫度T (oF )是一個(gè)隨機(jī)變量，且有T～N（，2），試求θ(℃)的概率密度。P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=或?qū)懗蒟Y0101（2）不放回抽樣的情況P {X=0, Y=0 }=P {X=0, Y=1 }=P {X=1, Y=0 }=P {X=1, Y=1 }=或?qū)懗蒟Y01013.[二] 盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到白球的只數(shù)，求X，Y的聯(lián)合分布律。j （2）（X，Y ）的聯(lián)合分布律如下XY0123000300解： X的邊緣分布律 Y的邊緣分布律X 0 1 2 3 Y 1 3PiP {Y=0} =P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0}∴ X和Y不獨(dú)立16.[十四] 設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，1）上服從均勻分布。每次隨機(jī)地抽取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如果發(fā)現(xiàn)其中的次品數(shù)多于1，就去調(diào)整設(shè)備，以X表示一天中調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，試求E (X)。(3) 設(shè)Z= (X－Y )2，求E (Z)。設(shè)抽取鑰匙是相互獨(dú)立的，等可能性的。解：又D (X )= E (X 2 )－E 2 (X )=2θ2－θ2=θ221．設(shè)X1, X2 ,…, Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量且有,i=1,2,…, ，.（1）驗(yàn)證（2）驗(yàn)證.（3）驗(yàn)證E (S 2 )證明：（1）(利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2176。解：E (W )= E (X+Y+Z)= E (X )+ E (Y )+ E (Z )=1+1－1=1 D (W )= D (X+Y+Z)=E{[ (X+Y+Z)－E (X+Y+Z)]2} = E{[ X－E (X )]+[ Y－E (Y )]+Z－E (Z )}2 = E{[ X－E (X )]2+[ Y－E (Y )]2+ [Z－E (Z )]2+2[ X－E (X )] [ Y－E (Y )] +2[ Y－E (Y )] [Z－E (Z )]+2[Z－E (Z )] [ X－E (X )]} = D (X )+D (Y )+D (Z )+2 COV(X, Y )+ 2 COV(Y, Z )+ 2 COV(Z, X ) = D (X )+D (Y )+D (Z )+2 +=1+1+1+2 26.[二十八] 設(shè)隨機(jī)變量（X1，X2）具有概率密度。（2）設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且X～N（720，302），Y～N（640，252），求Z1=2X+Y，Z2=X－Y的分布，并求P {XY }, P {X+Y1400 }解：（1）利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2176。）而E Z1=2EX+Y=2720+640, D (Z1)= 4D (X )+ D (Y )= 4225E Z2=EX－EY=720－640=80, D (Z2)= D (X )+ D (Y )= 1525即 Z1～N（2080，4225）， Z2～N（80，1525）P {XY }= P {X－Y 0 }= P {Z20 }=1－P {Z2 ≤0 }=P {X+Y 1400 }=1－P {X+Y ≤1400 }同理X+Y～N（1360，1525）則P {X+Y 1400 }=1－P {X+Y ≤1400 } =[二十二] 5家商店聯(lián)營(yíng)，它們每周售出的某種農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量（以kg計(jì)）分別為X1，X2，X3，X4，X5，已知X1～N（200，225），X2～N（240，240），X3～N（180，225），X4～N（260，265），X5～N（320，270），X1，X2，X3，X4，X5相互獨(dú)立。為了整個(gè)系統(tǒng)起作用至少必需有85個(gè)部件工作。第六章 樣本及抽樣分布1.[一] 在總體N（52，）中隨機(jī)抽一容量為36的樣本。求下列各總體的密度函數(shù)或分布律中的未知參數(shù)的矩估計(jì)量。（2） 其中θ0，θ為未知參數(shù)。（2）求概率P {max (X1，X2，X3，X4，X5)15}.（3）求概率P {min (X1，X2，X3，X4，X5)10}.解：（1） =（2）P {max (X1，X2，X3，X4，X5)15}=1－P {max (X1，X2，X3，X4，X5)≤15} =（3）P {min (X1，X2，X3，X4，X5)10}=1－ P {min (X1，X2，X3，X4，X5)≥10} =4.[四] 設(shè)X1，X2…，X10為N（0，）的一個(gè)樣本，求解：7．設(shè)X1，X2，…，Xn是來(lái)自泊松分布π (λ )的一個(gè)樣本，S2分別為樣本均值和樣本方差，求E (), D (), E (S 2 ).解：由X~π (λ )知E (X )= λ ，∴E ()=E (X )= λ, D ()=[六] 設(shè)總體X~b (1,p)，X1，X2，…，Xn是來(lái)自X的樣本。（2）一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，由n個(gè)互相獨(dú)立起作用的部件所組成，每個(gè)部件的可靠性（即部件工作的概率）。已知E X1=200，E X2=240，E X3=180，E X4=260，E X5=320，D (X1)=225，D (X2)=240，D (X3)=225，D (X4)=265，D (X5)=270，利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)3176。有E (Y )= 2E (X1 )－E (X2 )+3 E (X3 )－E (X4 )=7利用數(shù)學(xué)方差的性質(zhì)2176。試求Z1=