【正文】 分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì)..............................................................................................11 拉普拉斯變換..........................................................................................................12 .......................................................................................13 ...................................................................................................................17 3 分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的求解.............................................................................................18 分?jǐn)?shù)階微分方程......................................................................................................18 ...................................................................................20 ...................................................................................25 本章小結(jié)..................................................................................................................31 4分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的仿真..............................................................................................32 .......................................................................................32 .......................................................................................36 本章小結(jié)..................................................................................................................44 5結(jié)論......................................................................................................................... ....45 致謝.................................................................................................................................46 參考文獻(xiàn).........................................................................................................................46 附錄1外文資料翻譯.................................................................................................. ..47 ：分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的頻域穩(wěn)定性條件........................................................47 ：Frequency Domain Stability Criteriafor Fractionalorder Control Systems..............................................................57附錄2 附錄程序........................................................................................................ ..68 I1緒論 課題的背景和意義分?jǐn)?shù)階微積分是一個(gè)歷史悠久且依然新穎的概念，其誕生于300年前，分?jǐn)?shù)階微積分主要研究的是任意階次的微分和積分的算子特性以及應(yīng)用問(wèn)題。一些西方的國(guó)家，由于科學(xué)技術(shù)的巨大領(lǐng)先優(yōu)勢(shì)，得以可以較早的攝入這一領(lǐng)域，投資巨大，已經(jīng)在航天領(lǐng)域，材料加工，國(guó)防工業(yè)中深入地運(yùn)用了分?jǐn)?shù)階理論，反之，由于國(guó)內(nèi)科技及各方面起步比較晚，以致在分?jǐn)?shù)階理論研究領(lǐng)域與西方國(guó)家有很大的差距，但是在衛(wèi)星運(yùn)行，軌道交通等方面已有一定的運(yùn)用，收獲了極好的效果，分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)方面的研究具有非常重大的研究意義，因此，這是一個(gè)值得研究的課題。給出了分?jǐn)?shù)階微積分的三種定義形式，Gr252。 分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)包括數(shù)學(xué)常用基本函數(shù)，在本章第一節(jié)中將著重介紹三種函數(shù)Gamma函數(shù)，Bata函數(shù)及其MittagLeffler函數(shù)，在第三第四節(jié)中將介紹拉普拉斯變換，這三種函數(shù)及變換形式是第二節(jié)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)階微積分定義時(shí)所必須要了解的，只有理解這三種函數(shù)，我們才能更好地理解分?jǐn)?shù)階微積分的定義。Gamma 函數(shù)還有非常重要的一個(gè)性質(zhì)，即為在z=n(n=0，1，2…)時(shí)是單極點(diǎn)，可以用下面的式子表示： ()這其中，積分形式可以表示一個(gè)廣義范圍內(nèi)的積分。 雙參數(shù)變量的MittagLeffler函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： () 其中ɑ0,β0.當(dāng)ɑ=1的時(shí)候，式子() 可以表示成為： () 廣義范圍內(nèi)的MittagLeffler函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 () 其中式子中的ɑ，β，γC。由于在之前的章節(jié)中對(duì)Gamma函數(shù)進(jìn)行了一些介紹，下面的介紹就直接引用Gamma函數(shù)的一些結(jié)論和定義，在這里假定函數(shù)f(t)在給定的區(qū)域范圍內(nèi)滿(mǎn)足存在n+1階次的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)ɑ的時(shí)候，在這里可以很快的推導(dǎo)出函數(shù)f(t)的任意λ階次的微積分的定義形式為以下所示的式子，即為分?jǐn)?shù)階微積分的Gr252。Caputo分?jǐn)?shù)階的微分形式的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： ()在上述式子中，ɑ=λ+m ,m是整數(shù)，且，Caputo分?jǐn)?shù)階的積分形式的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： ()對(duì)于式子()和 式子()，在這里可以將二者統(tǒng)一為以下的式子： () 在式子中。拉氏變換可以看成一個(gè)線(xiàn)性變換，可以把一個(gè)有著引數(shù)實(shí)數(shù)t(t0)的函數(shù)形式來(lái)轉(zhuǎn)換成為一個(gè)引數(shù)為復(fù)數(shù)s的函數(shù)形式。對(duì)于特定的三角函數(shù)sin(t)，在這里可以通過(guò)之前的定義來(lái)表示函數(shù)sin(t)的ɑ階微分如下： ()其中上述式子中是h表示圖像的步長(zhǎng)。 分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的求解實(shí)際上就是對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的求解，通過(guò)對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的求解，可以來(lái)分析整個(gè)系統(tǒng)。關(guān)于這一定理在這里可以作以下的描述：對(duì)于一個(gè)設(shè)定的函數(shù)f(t)，這里假設(shè)其在()的范圍內(nèi)是可積的，然后函數(shù)f(t)是滿(mǎn)足式子： ()那么方程 ()在這個(gè)區(qū)間里面有且只有一個(gè)解。下面這里就介紹分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法：在這里假設(shè)一個(gè)比較簡(jiǎn)單的微分方程如下所示： ()其中函數(shù)f(t)為此分?jǐn)?shù)階微分方程的輸入函數(shù)，而函數(shù)y(t)為此分?jǐn)?shù)階微分方程的輸出函數(shù)。例1. 下面舉一個(gè)簡(jiǎn)單的控制系統(tǒng)，根據(jù)這一系統(tǒng)所推導(dǎo)出的分?jǐn)?shù)階微積分的方程式子來(lái)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微積分方程的計(jì)算，通過(guò)這一例子的分析及求解，在這里可以熟練地掌握分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法的解題思路和具體的解題步驟，而通過(guò)MATLAB的仿真編程，可以得到此分?jǐn)?shù)階的圖像，這有助于對(duì)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的分析與研究。運(yùn)行程序可以得到分?jǐn)?shù)階微分方程在這些參數(shù)下的圖像如下: 例2 在階躍輸入下的圖像分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解法是求解分?jǐn)?shù)階微分方程的又一常用的方法，解析解法的大體思路就是根據(jù)之前介紹的拉普拉斯變換的方法，對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程的兩邊同時(shí)進(jìn)行拉普拉斯變換，就可以得到分?jǐn)?shù)階微分方程中原函數(shù)的表達(dá)式子，根據(jù)得到的表達(dá)式，可以運(yùn)用MATLAB作出圖像，根據(jù)圖像來(lái)分析函數(shù)的變化。這里依然設(shè)定U(s)為此控制系統(tǒng)的輸入，Y(s)為此控制系統(tǒng)的輸出，同理在這里可以得到此控制系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階微分方程的式子如下所示： ()其中y(t)依然滿(mǎn)足其各階導(dǎo)數(shù)都為零，那么根據(jù)上一節(jié)中的解析解法的定義，可以得到 ()根據(jù)這個(gè)遞推的式子，可以利用MATLAB編制程序，程序見(jiàn)附錄4，在這里依然取a2=，a1=，a0=1，β=，ɑ=。4分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的仿真控制系統(tǒng)指的是可以合乎理論地利用信息對(duì)物質(zhì)和能量進(jìn)行有效的分析和利用的過(guò)程和系統(tǒng)，在工程實(shí)際的控制系統(tǒng)中，可以對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行不同的分類(lèi)，例如根據(jù)原理的不同，可以將控制系統(tǒng)分為開(kāi)環(huán)及其閉環(huán)控制系統(tǒng)，不同的分類(lèi)方法可以對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行不同的分類(lèi)。除了微積分方程這種描述控制系統(tǒng)的方法之外，這里還可以用傳遞函數(shù)的描述的方法表示如下，其中U(s)為系統(tǒng)的輸入，Y(S)為系統(tǒng)的輸出。Gc(s)G(s) 控制系統(tǒng)基本控制框圖在這里如果設(shè)定和第三章例2相似的被控對(duì)象，即: ()如果控制系統(tǒng)的控制環(huán)節(jié)為PD控制系統(tǒng)，即Gc(s)為，這里可以得出和例2相同的微分方程如下： ()在第三章中的時(shí)候?qū)Ψ謹(jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行了解析解法和數(shù)值解法兩種方法的求解，并分析了兩種方法的適用條件，上式為較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)階微分方程，那么這里可以采用分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法。對(duì)于第二種作用，可以用如下的描述，和整數(shù)階控制系統(tǒng)一樣，我們也可以用分?jǐn)?shù)階微分方程來(lái)描述分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)，表示如下： ()其中λ和β為任意的實(shí)數(shù)，而λ和β滿(mǎn)足式