【正文】 167。當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在（0，0）也連續(xù)。所以函數(shù) 在整個(gè)xoy面上連續(xù)。 5 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 設(shè)，求解：令， 設(shè)由方程確定，其中可微，證明 設(shè)由方程所確定，其中可微，求 設(shè)，求， ( ，) 設(shè)由方程所確定，可微，求解：令 ，則設(shè)由方程所確定，求 ()設(shè)z=z(x,y)由方程 所確定，求, , , 167。解：：， 167。 求橢球面被平面x+y+z=0截得的橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸的 長(zhǎng)度解： ， 長(zhǎng)半軸 ， 短半軸 第八章 自測(cè)題一、選擇題：（每題2分，共14分）設(shè)有二元函數(shù) 則 [ ]A、存在；B、不存在；C、存在， 且在(0,0)處不連續(xù)；D、存在， 且在(0,0)處連續(xù)。 (D) 二、填空題：（每題３分，共18分） （ 0 ）２、設(shè)，則（ ）３、設(shè)則( 0 )４、設(shè)，則在點(diǎn)處的全微分.５、曲線在點(diǎn)處的切線方程為( )６、曲線在點(diǎn)(1,1,1)處的切線方程為( )三、計(jì)算題（每題6分）設(shè)，求的一階偏導(dǎo)數(shù) ， 。證明：曲面在任一點(diǎn)處的切平面的法向量為定直線L的方向向量若為，則，即則曲面上任一點(diǎn)的切平面平行于以(1,1,1)為方向的定直線。 1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分1設(shè) 關(guān)于軸對(duì)稱，表示在軸上側(cè)的部分，當(dāng)關(guān)于是偶函數(shù)時(shí)， B. C. 設(shè)是以點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形邊界,則= A. 4 C. D. 有物質(zhì)沿曲線：分布，其線密度為，則它 的質(zhì)量 A. B. C. D.4．求其中L為由所圍區(qū)域的整個(gè)邊界解：5．其中L為雙紐線解：原積分=6． 其中L為原積分=7．其中L為球面與平面的交線解：將代入方程得于是L的參數(shù)方程：，又原積分=求均勻弧 的重心坐標(biāo)， 167。5． ,其中為曲線從軸正 向看依逆時(shí)針?lè)较颉?2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、用比較審斂法或極限形式的比較審斂法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性 判定級(jí)數(shù) 的斂散性 解：由于 ,而收斂，故收斂 判定斂散性 解： = 故,而級(jí)數(shù)發(fā)散，故發(fā)散 判定斂散性 收斂。8 一般周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù) 將f(x)=2+|x|(1展開成以2為周期的傅立葉級(jí)數(shù)后求的值 解：展開f(x)= 代x=0得 =+ 得 將f(x)=x1(0)展開成周期為4的余弦級(jí)數(shù)解： f(x)= (0) 將f(x)=x1(0)展開成周期為4的正弦級(jí)數(shù)的和函數(shù)為s(x)，求s(8)解：s(8)=s(0)=設(shè)f(x)=，S(x)= ,其中=2求S(解：S(=S(== 第十一章 自測(cè)題一選擇題:（40分）下列級(jí)數(shù)中,收斂的是( ). (A)； (B)； (C)； (D).下列級(jí)數(shù)中,收斂的是( ). (A) ； (B)； (C)； (D).下列級(jí)數(shù)中,收斂的是( ) (A)； (B)； (C) ； (D).部分和數(shù)列有界是正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的( ) (A)充分條件； (B)必要條件； (C)充要條件； (D)既非充分又非必要條件設(shè)為非零常數(shù),則當(dāng)( )時(shí),級(jí)數(shù)收斂 . (A)； (B)； (C)； (D)冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域是( ). (A) ；(B) ； (C) （0,2） (D) [0,2]是級(jí)數(shù)收斂的( ) (A)充分條件； (B)必要條件； (C)充要條件； (D)既非充分又非必要條件 .冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是( ) (A) ； (B) ； (C) ； (D) .二、 （8分）判別下列級(jí)數(shù)的收斂性 1； 三、（6分）判別級(jí)數(shù)的斂散性 .四、（6分）求極限 . 五（8分）求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間: 1； .六（6分）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) . 七（6分）求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和 . 八（6分）試將函數(shù)展開成.九（6分）設(shè)是周期為的函數(shù),它在上的表達(dá)式為 將展開成傅立葉級(jí)數(shù) . 十（8分）將函數(shù)分別展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) . 自測(cè)題答案一、B； B； C； C； D； A； B； B.二、發(fā)散； 收斂.三、條件收斂.四、. (提示:化成)五、1； .六、. 七、.八、九、 ().十、 . 第十二章 微分方程 167。+y162。=2xy5. 已知某初值問(wèn)題的解為y=C1sin(xC2) y|x=p=1,y162。2 可分離變量的微分方程(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ） 。子彈在墻壁中的運(yùn)動(dòng)所受阻力kv2(k為常數(shù))由牛頓第二定律得： 又v(0)=v0==可設(shè)子彈穿透墻壁所用時(shí)間為T，且墻壁后h=20cm,知即：=400kT+1 (*)由題設(shè)知：子彈在時(shí)刻T時(shí)，飛出墻壁，且速度為100m/s，即，得400kT=3，代入(*)得：k=10ln2，即 167。4 一階線性微分方程微分方程(y2+1)dx=y(y2x)dy的通解是（ ）A. B. C. D. 微分方程xy162。C降到60176。5 全微分方程（ ） A. (3x2+6xy2）+(6x2y+4y2)dy=0 B. eydx+(xey2y)dy=0 C. (xcosy+cosx)y162。+y162。=p得p162。(0)=解：由yy178。=0解：令y162。(x)解：原方程化為(x+1)(y162。+q(x)y=f(x)的特解為y1=x,y2=ex,y3=e2x,試求 方程滿足初始條件y(0)=1,y162。于是齊次方程的通解Y=C1(exx)+C2(e2xx).非齊次方程的通解是y=x+C1(exx)+C2(e2xx).由y(0)=1，y162。=0 178。3iy=e2x(C1cos3x+C2sin3x)(2) y178。 r1,2=0,r3,4=1177。 9 常系數(shù)非齊次線性微分方程1.、方程y178。+2y=exsinx解：對(duì)應(yīng)的齊次方程：y178。+9y=0得：r1,2=177。4y=e2x的通解證明：是方程y178。+y*=f(x)，即y*是其一個(gè)特解。=xe2x A. y*=(Ax+B)e2x B. y*=Axe2x C. y*=Ax2e2x D. y*=x(Ax+b)e2x,y2,y3為方程y178。+cy=0的基本組是y1=e2xcosx, y2=e2xsinx，則b=_4,C=55. 方程y162。ay162。 C=1j(x)=sinx+cosx五（10分）求(x+y2)dx2xydy=0滿足y|x=1=2的特解。 r1,2=177。 1 二重積分的概念與性質(zhì) 由二重積分的幾何意義求二重積分的值 其中D為： ( =) 設(shè)D為圓域若積分=，求a的值。 2 二重積分的計(jì)算法1.(1)、C ( 2)、C (3)、D (4)、C (5)、A (6)、B (7)、A交換積分次序(1)I=. I==(2) = 求下面各積分 (1) ，其中 由x=2,y=x,xy=1所圍成. 解： I= (3) 計(jì)算二重積分，其中D={(x,y)| 0≤x≤1,0≤y≤1} 解： =用極坐標(biāo)計(jì)算積分(1) I=,其中D是由x2+y2=Rx所圍城的區(qū)域. ()(2) ，其中D是圓域 解：=(3) ，D： 解：= 167。設(shè)f*(x)=Ax2+Bx+C,代入原方程A=1，B=0,C=2f(x)=x22，通解是f(x)=C1cosx+C2sinx+x22代入初始條件f(x)=0,f162。(0)=1，且[xy(x+y)f(x)y]dx+[f162。(0)= 1解：令y162。4y178。+a2(x)y=f(x)的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，C1,C2,C3均為任意常數(shù)，則該方程的通解為( ) +C2y2 +C2y2+C3y3 C. C1y1+C2y2+y3 (y1y2)+C2(y1y3)+y2=y(x)的圖形上(0,2)的切線為2x3y=0且y(x)使y178。6=18分)(x+1)(y2+1)dx+y2x2dy=0是( ) =y2eydy的通解為( ) A. y=x(Cex) =x(C+ex) =y(C+ey) =y(Cey)+y2=C確定的隱函數(shù)滿足的微分方程是( ) A.(x2y)y162。又因?yàn)橹挥幸粋€(gè)常數(shù)。wi=i不是特征方程的根，設(shè)y*=Acosx+Bsinx代入原方程得：A=, B=0，即Y=cosx通解為y=C1cos3x+C2sin3x+cosx由初始條件得特解6. 求特解：y178。+2y=0特征方程r2+2r+2=0 222。+p(x)y162。+(l1+l2)y162。 r=177。+py162。8 常系數(shù)齊次線性微分方程 設(shè)y=ex(C1sinx+C2cosx) (C1,C2 為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)齊次線性微分方程 的通解，則該方程為（