【正文】 ）證明：∵在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD． ∵AB=BC=2，AD=CD=，設(shè)AC與BD的交點為O，則BD是AC的中垂線，故O為AC的中點，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）若G是PC的中點，O為AC的中點，則GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO為DG與平面PAC所成的角．由題意可得，GO=PA=．△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=4+4﹣222cos120176。AB=AC=，AA1=3，D是BC的中點，點E在棱BB1上運(yùn)動．（1）證明：AD⊥C1E；（2）當(dāng)異面直線AC，C1E 所成的角為60176。G為線段PC上的點．（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中點，求DG與PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G滿足PC⊥面BGD，求的值．　11．（2013?湖南）如圖．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90176?！郉E⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．點評：本題考查了空間中的平行與垂直問題，解題時應(yīng)明確空間中的線線、線面、面面之間的垂直與平行的互相轉(zhuǎn)化關(guān)系，是基礎(chǔ)題目．　5．（2014?黃山一模）如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分別是AB、PD的中點．（1）求證：AF∥平面PCE；（2）求證：平面PCE⊥平面PCD；（3）求四面體PEFC的體積．考點：直線與平面平行的判定；棱錐的結(jié)構(gòu)特征；平面與平面垂直的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；證明題．分析：（1）設(shè)G為PC的中點，連接FG，EG，根據(jù)中位線定理得到FGCD，AECD，進(jìn)而可得到AF∥GE，再由線面平行的判定定理可證明AF∥平面PCE，得證．（2）根據(jù)PA=AD=2可得到AF⊥PD，再由線面垂直的性質(zhì)定理可得到PA⊥CD，然后由AD⊥CD結(jié)合線面垂直的判定定理得到CD⊥平面PAD，同樣得到GE⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理可得證．（3）先由（2）可得知EG為四面體PEFC的高，進(jìn)而求出S△PCF，根據(jù)棱錐的體積公式可得到答案．解答：解：（1）證明：設(shè)G為PC的中點，連接FG，EG，∵F為PD的中點，E為AB的中點，∴FGCD，AECD∴FGAE，∴AF∥GE∵GE?平面PEC，∴AF∥平面PCE；（2）證明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，∴GE⊥平面PCD，∵GE?平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD；（3）由（2）知，GE⊥平面PCD，所以EG為四面體PEFC的高，又GF∥CD，所以GF⊥PD，EG=AF=，GF=CD=，S△PCF=PD?GF=2．得四面體PEFC的體積V=S△PCF?EG=．點評：本題主要考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理．考查對立體幾何中基本定理的掌握程度和靈活運(yùn)用能力．　6．（2014?南海區(qū)模擬）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是兩個邊長為2的正三角形，DC=4，O為BD的中點，E為PA的中點．（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求證：OE∥平面PDC；（Ⅲ）求直線CB與平面PDC所成角的正弦值．考點：直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證明題．分析：（Ⅰ）由條件先證明四邊形ABFD為正方形，由等腰三角形的性質(zhì)證明PO⊥BD，由勾股定理求得PO⊥AO，從而證得PO⊥平面ABCD．（Ⅱ）過O分別做AD，AB的平行線，以它們做x，y軸，以O(shè)P為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出 和 的坐標(biāo)，由 可得 OE∥PF，從而證得OE∥平面PDC． （Ⅲ） 設(shè)平面PDC的法向量為，直線CB與平面PDC所成角θ，求出一個法向量為，又，可得 和 夾角的余弦值，即為直線CB與平面PDC所成角的正弦值．解答：解：（Ⅰ）證明：設(shè)F為DC的中點，連接BF，則DF=AB．∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，∴四邊形ABFD為正方形．∵O為BD的中點，∴O為AF，BD的交點，∵PD=PB=2，∴PO⊥BD，…..（2分）∵=，∴=，在三角形PAO中，PO2+AO2=PA2=4，∴PO⊥AO，…（4分）∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD． …（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，所以過O分別做AD，AB的平行線，以它們做x，y軸，以O(shè)P為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：由已知得：A（﹣1，﹣1，0），B（﹣1，1，0），D（1，﹣1，0）F（1，1，0），C（1，3，0），．則，．∴，∴OE∥PF，∵OE?平面PDC，PF?平面PDC，∴OE∥平面PDC． …（9分）（Ⅲ） 設(shè)平面PDC的法向量為，直線CB與平面PDC所成角θ，則，即，解得，令z1=1，則平面PDC的一個法向量為，又，則，∴直線CB與平面PDC所成角的正弦值為．…（14分）點評：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，求直線和平面所成的角，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，把CB和平面PDC所稱的角的正弦值轉(zhuǎn)化為CB和平面PDC的法向量夾角的余弦值，是解題的難點和關(guān)鍵．　7．（2014?天津模擬）如圖，在四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，下底ABCD是邊長為2的正方形，上底A1B1C1D1是邊長為1的正方形，側(cè)棱DD1⊥平面ABCD，DD1=2．（1）求證：B1B∥平面D1AC；（2）求證：平面D1AC⊥平面B1BDD1．考點：直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證明題．分析：（1）設(shè)AC∩BD=E，連接D1E，根據(jù)平面ABCD∥平面A1B1C1D1的性質(zhì)得B1D1∥BE，而B1D1=BE=，則四邊形B1D1EB是平行四邊形，從而B1B∥D1E，又因B1B?平面D1AC，D1E?平面D1AC，根據(jù)線面平行的判定定理可知B1B∥平面D1AC；（2）根據(jù)側(cè)棱DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，得AC⊥DD1．而下底ABCD是正方形則AC⊥BD，根據(jù)DD1與DB是平面B1BDD1內(nèi)的兩條相交直線，則AC⊥平面B1BDD1，AC?平面D1AC，根據(jù)面面垂直的判定定理可知平面D1AC⊥平面B1BDD1．解答：證明：（1）設(shè)AC∩BD=E，連接D1E，∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1．∴B1D1∥BE，∵B1D1=BE=，∴四邊形B1D1EB是平行四邊形，所以B1B∥D1E．又因為B1B?平面D1AC，D1E?平面D1AC，所以B1B∥平面D1AC（2）證明：側(cè)棱DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥DD1．∵下底ABCD是正方形，AC⊥BD．∵DD1與DB是平面B1BDD1內(nèi)的兩條相交直線，∴AC⊥平面B1BDD1∵AC?平面D1AC，∴平面D1AC⊥平面B1BDD1．點評：本題主要考查了直線與平面平行、直線與平面垂直的判定定理，同時考查了空間想象能力以及推理能力，涉及到的知識點比較多，知識性技巧性都很強(qiáng)．　8．（2013?北京）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AB